Theorem slmdvsass

Description: Associative law for scalar product. ( ax-hvmulass analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	slmdvsass.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
	slmdvsass.f	⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
	slmdvsass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
	slmdvsass.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
	slmdvsass.t	⊢ × = ( .r ‘ 𝐹 )
Assertion	slmdvsass	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdvsass.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2		slmdvsass.f	⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
3		slmdvsass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
4		slmdvsass.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
5		slmdvsass.t	⊢ × = ( .r ‘ 𝐹 )
6		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝑊 ) = ( +g ‘ 𝑊 )
7		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑊 ) = ( 0g ‘ 𝑊 )
8		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝐹 ) = ( +g ‘ 𝐹 )
9		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝐹 ) = ( 1r ‘ 𝐹 )
10		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝐹 ) = ( 0g ‘ 𝐹 )
11	1 6 3 7 2 4 8 5 9 10	slmdlema	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑄 ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ∧ ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = ( 0g ‘ 𝑊 ) ) ) )
12	11	simprd	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ∧ ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = ( 0g ‘ 𝑊 ) ) )
13	12	simp1d	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
14	13	3expa	⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
15	14	anabsan2	⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
16	15	exp42	⊢ ( 𝑊 ∈ SLMod → ( 𝑄 ∈ 𝐾 → ( 𝑅 ∈ 𝐾 → ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
17	16	3imp2	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 × 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )