Theorem slmdvscl

Description: Closure of scalar product for a semiring left module. ( hvmulcl analog.) (Contributed by NM, 8-Dec-2013) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	slmdvscl.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
	slmdvscl.f	⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
	slmdvscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
	slmdvscl.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
Assertion	slmdvscl	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdvscl.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2		slmdvscl.f	⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
3		slmdvscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
4		slmdvscl.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
5		biid	⊢ ( 𝑊 ∈ SLMod ↔ 𝑊 ∈ SLMod )
6		pm4.24	⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ↔ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) )
7		pm4.24	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) )
8		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝑊 ) = ( +g ‘ 𝑊 )
9		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑊 ) = ( 0g ‘ 𝑊 )
10		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝐹 ) = ( +g ‘ 𝐹 )
11		eqid	⊢ ( .r ‘ 𝐹 ) = ( .r ‘ 𝐹 )
12		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝐹 ) = ( 1r ‘ 𝐹 )
13		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝐹 ) = ( 0g ‘ 𝐹 )
14	1 8 3 9 2 4 10 11 12 13	slmdlema	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑅 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ∧ ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = ( 0g ‘ 𝑊 ) ) ) )
15	14	simpld	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 ( +g ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) )
16	15	simp1d	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 )
17	5 6 7 16	syl3anb	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 )