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Theorem slmdvsdi

Description: Distributive law for scalar product. ( ax-hvdistr1 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018)

Ref Expression
Hypotheses slmdvsdi.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
slmdvsdi.a ⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
slmdvsdi.f ⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
slmdvsdi.s ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
slmdvsdi.k ⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
Assertion slmdvsdi ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 slmdvsdi.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2 slmdvsdi.a ⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
3 slmdvsdi.f ⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
4 slmdvsdi.s ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
5 slmdvsdi.k ⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
6 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝑊 ) = ( 0g ‘ 𝑊 )
7 eqid ⊢ ( +g ‘ 𝐹 ) = ( +g ‘ 𝐹 )
8 eqid ⊢ ( .r ‘ 𝐹 ) = ( .r ‘ 𝐹 )
9 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝐹 ) = ( 1r ‘ 𝐹 )
10 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝐹 ) = ( 0g ‘ 𝐹 )
11 1 2 4 6 3 5 7 8 9 10 slmdlema ⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑅 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ∧ ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = ( 0g ‘ 𝑊 ) ) ) )
12 11 simpld ⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) )
13 12 simp2d ⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) )
14 13 3expia ⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) )
15 14 anabsan2 ⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) → ( ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) )
16 15 exp4b ⊢ ( 𝑊 ∈ SLMod → ( 𝑅 ∈ 𝐾 → ( 𝑌 ∈ 𝑉 → ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) ) ) )
17 16 com34 ⊢ ( 𝑊 ∈ SLMod → ( 𝑅 ∈ 𝐾 → ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝑌 ∈ 𝑉 → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) ) ) )
18 17 3imp2 ⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) )