Theorem slmdvsdir

Description: Distributive law for scalar product. ( ax-hvdistr1 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	slmdvsdir.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
	slmdvsdir.a	⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
	slmdvsdir.f	⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
	slmdvsdir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
	slmdvsdir.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
	slmdvsdir.p	⊢ ⨣ = ( +g ‘ 𝐹 )
Assertion	slmdvsdir	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdvsdir.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2		slmdvsdir.a	⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
3		slmdvsdir.f	⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
4		slmdvsdir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
5		slmdvsdir.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
6		slmdvsdir.p	⊢ ⨣ = ( +g ‘ 𝐹 )
7		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑊 ) = ( 0g ‘ 𝑊 )
8		eqid	⊢ ( .r ‘ 𝐹 ) = ( .r ‘ 𝐹 )
9		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝐹 ) = ( 1r ‘ 𝐹 )
10		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝐹 ) = ( 0g ‘ 𝐹 )
11	1 2 4 7 3 5 6 8 9 10	slmdlema	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ∧ ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = ( 0g ‘ 𝑊 ) ) ) )
12	11	simpld	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) )
13	12	simp3d	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
14	13	3expa	⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
15	14	anabsan2	⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
16	15	exp42	⊢ ( 𝑊 ∈ SLMod → ( 𝑄 ∈ 𝐾 → ( 𝑅 ∈ 𝐾 → ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
17	16	3imp2	⊢ ( ( 𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 ⨣ 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )