Theorem smadiadetlem1a

Description: Lemma 1a for smadiadet : The summands of the Leibniz' formula vanish for all permutations fixing the index of the row containing the 0's and the 1 to the column with the 1. (Contributed by AV, 3-Jan-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	marep01ma.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
	marep01ma.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
	marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
	marep01ma.0	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
	marep01ma.1	⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝑅 )
	smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) )
	smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
	madetminlem.y	⊢ 𝑌 = ( ℤRHom ‘ 𝑅 )
	madetminlem.s	⊢ 𝑆 = ( pmSgn ‘ 𝑁 )
	madetminlem.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion	smadiadetlem1a	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 1 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) = 0 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marep01ma.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
2		marep01ma.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
3		marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
4		marep01ma.0	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
5		marep01ma.1	⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝑅 )
6		smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) )
7		smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
8		madetminlem.y	⊢ 𝑌 = ( ℤRHom ‘ 𝑅 )
9		madetminlem.s	⊢ 𝑆 = ( pmSgn ‘ 𝑁 )
10		madetminlem.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
11	1 2 3 4 5 6 7	smadiadetlem0	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 1 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = 0 ) )
12	11	imp	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 1 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = 0 )
13	12	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ) → ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 1 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · 0 ) )
14	13	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 1 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · 0 ) ) )
15	14	oveq2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 1 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · 0 ) ) ) )
16		crngring	⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring )
17	3 16	mp1i	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
18	1 2	matrcl	⊢ ( 𝑀 ∈ 𝐵 → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V ) )
19	18	simpld	⊢ ( 𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin )
20	19	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ Fin )
21	20	adantr	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ) → 𝑁 ∈ Fin )
22		eldifi	⊢ ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
23	22	adantl	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
24	6 9 8	zrhcopsgnelbas	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
25	17 21 23 24	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ) → ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
26		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
27	26 10 4	ringrz	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · 0 ) = 0 )
28	17 25 27	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ) → ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · 0 ) = 0 )
29	28	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · 0 ) ) = ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ 0 ) )
30	29	oveq2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · 0 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ 0 ) ) )
31		ringmnd	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd )
32	3 16 31	mp2b	⊢ 𝑅 ∈ Mnd
33	6	fvexi	⊢ 𝑃 ∈ V
34		difexg	⊢ ( 𝑃 ∈ V → ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ∈ V )
35	33 34	mp1i	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ∈ V )
36	4	gsumz	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ∈ V ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ 0 ) ) = 0 )
37	32 35 36	sylancr	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ 0 ) ) = 0 )
38	15 30 37	3eqtrd	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐿 } ) ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐾 , if ( 𝑗 = 𝐿 , 1 , 0 ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) = 0 )