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Theorem ssblps

Description: The size of a ball increases monotonically with its radius. (Contributed by NM, 20-Sep-2007) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018)

Ref Expression
Assertion ssblps ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ⊆ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑆 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simp1l ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) )
2 simp1r ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → 𝑃𝑋 )
3 simp2l ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → 𝑅 ∈ ℝ* )
4 simp2r ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → 𝑆 ∈ ℝ* )
5 psmet0 ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) → ( 𝑃 𝐷 𝑃 ) = 0 )
6 5 3ad2ant1 ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → ( 𝑃 𝐷 𝑃 ) = 0 )
7 0re 0 ∈ ℝ
8 6 7 eqeltrdi ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → ( 𝑃 𝐷 𝑃 ) ∈ ℝ )
9 simp3 ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → 𝑅𝑆 )
10 xsubge0 ( ( 𝑆 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 0 ≤ ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ↔ 𝑅𝑆 ) )
11 4 3 10 syl2anc ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → ( 0 ≤ ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ↔ 𝑅𝑆 ) )
12 9 11 mpbird ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → 0 ≤ ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) )
13 6 12 eqbrtrd ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → ( 𝑃 𝐷 𝑃 ) ≤ ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) )
14 1 2 2 3 4 8 13 xblss2ps ( ( ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑅𝑆 ) → ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ⊆ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑆 ) )