| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
sstotbnd.2 |
⊢ 𝑁 = ( 𝑀 ↾ ( 𝑌 × 𝑌 ) ) |
| 2 |
|
metres2 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑀 ↾ ( 𝑌 × 𝑌 ) ) ∈ ( Met ‘ 𝑌 ) ) |
| 3 |
1 2
|
eqeltrid |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) → 𝑁 ∈ ( Met ‘ 𝑌 ) ) |
| 4 |
|
istotbnd3 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( TotBnd ‘ 𝑌 ) ↔ ( 𝑁 ∈ ( Met ‘ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) |
| 5 |
4
|
baib |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( Met ‘ 𝑌 ) → ( 𝑁 ∈ ( TotBnd ‘ 𝑌 ) ↔ ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) |
| 6 |
3 5
|
syl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑁 ∈ ( TotBnd ‘ 𝑌 ) ↔ ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) |
| 7 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) → 𝑌 ⊆ 𝑋 ) |
| 8 |
7
|
sspwd |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ) |
| 9 |
8
|
ssrind |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) → ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ⊆ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) |
| 10 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) → 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) |
| 11 |
9 10
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) → 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ) |
| 12 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) |
| 13 |
|
metxmet |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) → 𝑀 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
| 14 |
13
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣 ) → 𝑀 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
| 15 |
|
elfpw |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑣 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ Fin ) ) |
| 16 |
15
|
simplbi |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) → 𝑣 ⊆ 𝑌 ) |
| 17 |
16
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) → 𝑣 ⊆ 𝑌 ) |
| 18 |
17
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣 ) → 𝑥 ∈ 𝑌 ) |
| 19 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣 ) → 𝑌 ⊆ 𝑋 ) |
| 20 |
|
sseqin2 |
⊢ ( 𝑌 ⊆ 𝑋 ↔ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) = 𝑌 ) |
| 21 |
19 20
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣 ) → ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) = 𝑌 ) |
| 22 |
18 21
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) |
| 23 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣 ) → 𝑑 ∈ ℝ+ ) |
| 24 |
23
|
rpxrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣 ) → 𝑑 ∈ ℝ* ) |
| 25 |
1
|
blres |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ∩ 𝑌 ) ) |
| 26 |
14 22 24 25
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣 ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ∩ 𝑌 ) ) |
| 27 |
|
inss1 |
⊢ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) |
| 28 |
26 27
|
eqsstrdi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣 ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) ⊆ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) |
| 29 |
28
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) ⊆ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) |
| 30 |
|
ss2iun |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) ⊆ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) |
| 31 |
29 30
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) |
| 32 |
31
|
adantrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) |
| 33 |
12 32
|
eqsstrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) |
| 34 |
11 33
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) ) → ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) ) |
| 35 |
34
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 ) → ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) ) ) |
| 36 |
35
|
reximdv2 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) ) |
| 37 |
36
|
ralimdva |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) → ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑑 ) = 𝑌 → ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) ) |
| 38 |
6 37
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑁 ∈ ( TotBnd ‘ 𝑌 ) → ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) ) |
| 39 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) → 𝑐 ∈ ℝ+ ) |
| 40 |
39
|
rphalfcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑐 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
| 41 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑐 / 2 ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) = ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 42 |
41
|
iuneq2d |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑐 / 2 ) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 43 |
42
|
sseq2d |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑐 / 2 ) → ( 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ↔ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 44 |
43
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑐 / 2 ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 45 |
44
|
rspcv |
⊢ ( ( 𝑐 / 2 ) ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 46 |
40 45
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) → ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 47 |
|
elfpw |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑣 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ Fin ) ) |
| 48 |
47
|
simprbi |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) → 𝑣 ∈ Fin ) |
| 49 |
48
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → 𝑣 ∈ Fin ) |
| 50 |
|
ssrab2 |
⊢ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⊆ 𝑣 |
| 51 |
|
ssfi |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⊆ 𝑣 ) → { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ∈ Fin ) |
| 52 |
49 50 51
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ∈ Fin ) |
| 53 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) = ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 54 |
53
|
ineq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) = ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ) |
| 55 |
|
incom |
⊢ ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∩ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 56 |
54 55
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∩ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 57 |
|
dfin5 |
⊢ ( 𝑌 ∩ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) = { 𝑧 ∈ 𝑌 ∣ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) } |
| 58 |
56 57
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) = { 𝑧 ∈ 𝑌 ∣ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) } ) |
| 59 |
58
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ ↔ { 𝑧 ∈ 𝑌 ∣ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) } ≠ ∅ ) ) |
| 60 |
|
rabn0 |
⊢ ( { 𝑧 ∈ 𝑌 ∣ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) } ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑌 𝑧 ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 61 |
59 60
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑌 𝑧 ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 62 |
61
|
elrab |
⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑣 ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑌 𝑧 ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 63 |
62
|
simprbi |
⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } → ∃ 𝑧 ∈ 𝑌 𝑧 ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 64 |
63
|
rgen |
⊢ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ∃ 𝑧 ∈ 𝑌 𝑧 ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) |
| 65 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 66 |
65
|
ac6sfi |
⊢ ( ( { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ∈ Fin ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ∃ 𝑧 ∈ 𝑌 𝑧 ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 67 |
52 64 66
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 68 |
|
fdm |
⊢ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 → dom 𝑓 = { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ) |
| 69 |
68
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → dom 𝑓 = { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ) |
| 70 |
69 50
|
eqsstrdi |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ) |
| 71 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ) |
| 72 |
69
|
feq2d |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ↔ 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ) ) |
| 73 |
71 72
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ) |
| 74 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 75 |
|
ffn |
⊢ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 → 𝑓 Fn { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ) |
| 76 |
|
elpreima |
⊢ ( 𝑓 Fn { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } → ( 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) |
| 77 |
75 76
|
syl |
⊢ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 → ( 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) |
| 78 |
77
|
baibd |
⊢ ( ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ) → ( 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 79 |
78
|
ralbidva |
⊢ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 → ( ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 80 |
79
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 81 |
74 80
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 82 |
|
id |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → 𝑦 = 𝑥 ) |
| 83 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) = ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 84 |
83
|
imaeq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) = ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 85 |
82 84
|
eleq12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) |
| 86 |
85
|
ralrab2 |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) |
| 87 |
81 86
|
sylib |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) |
| 88 |
70 73 87
|
3jca |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) |
| 89 |
88
|
ex |
⊢ ( 𝑣 ∈ Fin → ( ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) → ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 90 |
49 89
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) → ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 91 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ) |
| 92 |
91
|
frnd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ran 𝑓 ⊆ 𝑌 ) |
| 93 |
91
|
ffnd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → 𝑓 Fn dom 𝑓 ) |
| 94 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → 𝑣 ∈ Fin ) |
| 95 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ) |
| 96 |
|
ssfi |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ Fin ∧ dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ) → dom 𝑓 ∈ Fin ) |
| 97 |
94 95 96
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → dom 𝑓 ∈ Fin ) |
| 98 |
|
fnfi |
⊢ ( ( 𝑓 Fn dom 𝑓 ∧ dom 𝑓 ∈ Fin ) → 𝑓 ∈ Fin ) |
| 99 |
93 97 98
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → 𝑓 ∈ Fin ) |
| 100 |
|
rnfi |
⊢ ( 𝑓 ∈ Fin → ran 𝑓 ∈ Fin ) |
| 101 |
99 100
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ran 𝑓 ∈ Fin ) |
| 102 |
|
elfpw |
⊢ ( ran 𝑓 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ↔ ( ran 𝑓 ⊆ 𝑌 ∧ ran 𝑓 ∈ Fin ) ) |
| 103 |
92 101 102
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ran 𝑓 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ) |
| 104 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 105 |
104
|
cbviunv |
⊢ ∪ 𝑥 ∈ ran 𝑓 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) |
| 106 |
3
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ) → 𝑁 ∈ ( Met ‘ 𝑌 ) ) |
| 107 |
|
metxmet |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( Met ‘ 𝑌 ) → 𝑁 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ) |
| 108 |
106 107
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ) → 𝑁 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ) |
| 109 |
92
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ) → 𝑧 ∈ 𝑌 ) |
| 110 |
|
rpxr |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 𝑐 ∈ ℝ* ) |
| 111 |
110
|
ad4antlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ) → 𝑐 ∈ ℝ* ) |
| 112 |
|
blssm |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑌 ∧ 𝑐 ∈ ℝ* ) → ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ⊆ 𝑌 ) |
| 113 |
108 109 111 112
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ) → ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ⊆ 𝑌 ) |
| 114 |
113
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ⊆ 𝑌 ) |
| 115 |
|
iunss |
⊢ ( ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ⊆ 𝑌 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ⊆ 𝑌 ) |
| 116 |
114 115
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ⊆ 𝑌 ) |
| 117 |
|
iunin1 |
⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑣 ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) = ( ∪ 𝑦 ∈ 𝑣 ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) |
| 118 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 119 |
53
|
cbviunv |
⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑣 ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) |
| 120 |
118 119
|
sseqtrdi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝑣 ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 121 |
|
sseqin2 |
⊢ ( 𝑌 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝑣 ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ↔ ( ∪ 𝑦 ∈ 𝑣 ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) = 𝑌 ) |
| 122 |
120 121
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ( ∪ 𝑦 ∈ 𝑣 ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) = 𝑌 ) |
| 123 |
117 122
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑣 ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) = 𝑌 ) |
| 124 |
|
0ss |
⊢ ∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) |
| 125 |
|
sseq1 |
⊢ ( ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) = ∅ → ( ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ↔ ∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) ) |
| 126 |
124 125
|
mpbiri |
⊢ ( ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) = ∅ → ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 127 |
126
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ) → ( ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) = ∅ → ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) ) |
| 128 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) |
| 129 |
54
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ ↔ ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ ) ) |
| 130 |
|
id |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦 ) |
| 131 |
53
|
imaeq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) = ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) |
| 132 |
130 131
|
eleq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ↔ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) |
| 133 |
129 132
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) |
| 134 |
133
|
rspccva |
⊢ ( ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ) → ( ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) |
| 135 |
128 134
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ) → ( ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) |
| 136 |
13
|
ad5antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
| 137 |
|
cnvimass |
⊢ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ⊆ dom 𝑓 |
| 138 |
47
|
simplbi |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) → 𝑣 ⊆ 𝑋 ) |
| 139 |
138
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → 𝑣 ⊆ 𝑋 ) |
| 140 |
139
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → 𝑣 ⊆ 𝑋 ) |
| 141 |
95 140
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → dom 𝑓 ⊆ 𝑋 ) |
| 142 |
137 141
|
sstrid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ⊆ 𝑋 ) |
| 143 |
142
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑋 ) |
| 144 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℝ+ ) |
| 145 |
144
|
rpred |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℝ ) |
| 146 |
|
elpreima |
⊢ ( 𝑓 Fn dom 𝑓 → ( 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ dom 𝑓 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) |
| 147 |
146
|
simplbda |
⊢ ( ( 𝑓 Fn dom 𝑓 ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 148 |
93 147
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) |
| 149 |
|
blhalf |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ⊆ ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑐 ) ) |
| 150 |
136 143 145 148 149
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ⊆ ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑐 ) ) |
| 151 |
150
|
ssrind |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑐 ) ∩ 𝑌 ) ) |
| 152 |
137
|
sseli |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) → 𝑦 ∈ dom 𝑓 ) |
| 153 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑓 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑌 ) |
| 154 |
91 152 153
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑌 ) |
| 155 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → 𝑌 ⊆ 𝑋 ) |
| 156 |
155 20
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) = 𝑌 ) |
| 157 |
154 156
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ) |
| 158 |
110
|
ad4antlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ℝ* ) |
| 159 |
1
|
blres |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑌 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑐 ) ∩ 𝑌 ) ) |
| 160 |
136 157 158 159
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑐 ) ∩ 𝑌 ) ) |
| 161 |
151 160
|
sseqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 162 |
|
fnfvelrn |
⊢ ( ( 𝑓 Fn dom 𝑓 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑓 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ran 𝑓 ) |
| 163 |
93 152 162
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ran 𝑓 ) |
| 164 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) → ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 165 |
164
|
ssiun2s |
⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ran 𝑓 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 166 |
163 165
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 167 |
161 166
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 168 |
167
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 169 |
168
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ) → ( 𝑦 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) ) |
| 170 |
135 169
|
syld |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ) → ( ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) ) |
| 171 |
127 170
|
pm2.61dne |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣 ) → ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 172 |
171
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝑣 ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 173 |
|
iunss |
⊢ ( ∪ 𝑦 ∈ 𝑣 ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑣 ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 174 |
172 173
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑣 ( ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 175 |
123 174
|
eqsstrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → 𝑌 ⊆ ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 176 |
116 175
|
eqssd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ∪ 𝑧 ∈ ran 𝑓 ( 𝑧 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) |
| 177 |
105 176
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ∪ 𝑥 ∈ ran 𝑓 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) |
| 178 |
|
iuneq1 |
⊢ ( 𝑤 = ran 𝑓 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = ∪ 𝑥 ∈ ran 𝑓 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) ) |
| 179 |
178
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑤 = ran 𝑓 → ( ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ↔ ∪ 𝑥 ∈ ran 𝑓 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) ) |
| 180 |
179
|
rspcev |
⊢ ( ( ran 𝑓 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∧ ∪ 𝑥 ∈ ran 𝑓 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) |
| 181 |
103 177 180
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ∧ ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) |
| 182 |
181
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( ( dom 𝑓 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑓 : dom 𝑓 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) ) |
| 183 |
90 182
|
syld |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) ) |
| 184 |
183
|
exlimdv |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ 𝑣 ∣ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ∩ 𝑌 ) ≠ ∅ } ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝑦 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) ) |
| 185 |
67 184
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) |
| 186 |
185
|
rexlimdvaa |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) ( 𝑐 / 2 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) ) |
| 187 |
46 186
|
syld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) ) |
| 188 |
187
|
ralrimdva |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) → ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) → ∀ 𝑐 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) ) |
| 189 |
|
istotbnd3 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( TotBnd ‘ 𝑌 ) ↔ ( 𝑁 ∈ ( Met ‘ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) ) |
| 190 |
189
|
baib |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( Met ‘ 𝑌 ) → ( 𝑁 ∈ ( TotBnd ‘ 𝑌 ) ↔ ∀ 𝑐 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) ) |
| 191 |
3 190
|
syl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑁 ∈ ( TotBnd ‘ 𝑌 ) ↔ ∀ 𝑐 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ( 𝒫 𝑌 ∩ Fin ) ∪ 𝑥 ∈ 𝑤 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑐 ) = 𝑌 ) ) |
| 192 |
188 191
|
sylibrd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) → ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) → 𝑁 ∈ ( TotBnd ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 193 |
38 192
|
impbid |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑁 ∈ ( TotBnd ‘ 𝑌 ) ↔ ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑣 ∈ ( 𝒫 𝑋 ∩ Fin ) 𝑌 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 ( 𝑥 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑑 ) ) ) |