Theorem sub4

Description: Rearrangement of 4 terms in a subtraction. (Contributed by NM, 23-Nov-2007)

	Ref	Expression
Assertion	sub4	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐶 ) − ( 𝐵 − 𝐷 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcom	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 + 𝐶 ) = ( 𝐶 + 𝐵 ) )
2	1	ad2ant2lr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( 𝐵 + 𝐶 ) = ( 𝐶 + 𝐵 ) )
3	2	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐷 ) − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 + 𝐷 ) − ( 𝐶 + 𝐵 ) ) )
4		subadd4	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 + 𝐷 ) − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) )
5		subadd4	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐶 ) − ( 𝐵 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 + 𝐷 ) − ( 𝐶 + 𝐵 ) ) )
6	5	an4s	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐶 ) − ( 𝐵 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 + 𝐷 ) − ( 𝐶 + 𝐵 ) ) )
7	3 4 6	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐶 ) − ( 𝐵 − 𝐷 ) ) )