Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
derang.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ Fin ↦ ( ♯ ‘ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : 𝑥 –1-1-onto→ 𝑥 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ) } ) ) |
2 |
|
subfac.n |
⊢ 𝑆 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( 𝐷 ‘ ( 1 ... 𝑛 ) ) ) |
3 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
4 |
|
faccl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
5 |
3 4
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
6 |
5
|
nncnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
7 |
|
ere |
⊢ e ∈ ℝ |
8 |
7
|
recni |
⊢ e ∈ ℂ |
9 |
|
epos |
⊢ 0 < e |
10 |
7 9
|
gt0ne0ii |
⊢ e ≠ 0 |
11 |
|
divcl |
⊢ ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ∧ e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0 ) → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) ∈ ℂ ) |
12 |
8 10 11
|
mp3an23 |
⊢ ( ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) ∈ ℂ ) |
13 |
6 12
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) ∈ ℂ ) |
14 |
1 2
|
subfacf |
⊢ 𝑆 : ℕ0 ⟶ ℕ0 |
15 |
14
|
ffvelrni |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
16 |
3 15
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
17 |
16
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
18 |
13 17
|
subcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) − ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
19 |
18
|
abscld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) − ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ ) |
20 |
|
peano2nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ ) |
21 |
20
|
peano2nnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
22 |
21
|
nnred |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
23 |
20 20
|
nnmulcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ ) |
24 |
22 23
|
nndivred |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
25 |
|
nnrecre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
26 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) |
27 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( abs ‘ - 1 ) ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( abs ‘ - 1 ) ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) |
28 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( ( abs ‘ - 1 ) ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) / ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) · ( ( 1 / ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( ( abs ‘ - 1 ) ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) / ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) · ( ( 1 / ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) |
29 |
|
neg1cn |
⊢ - 1 ∈ ℂ |
30 |
29
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → - 1 ∈ ℂ ) |
31 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
32 |
31
|
absnegi |
⊢ ( abs ‘ - 1 ) = ( abs ‘ 1 ) |
33 |
|
abs1 |
⊢ ( abs ‘ 1 ) = 1 |
34 |
32 33
|
eqtri |
⊢ ( abs ‘ - 1 ) = 1 |
35 |
|
1le1 |
⊢ 1 ≤ 1 |
36 |
34 35
|
eqbrtri |
⊢ ( abs ‘ - 1 ) ≤ 1 |
37 |
36
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ - 1 ) ≤ 1 ) |
38 |
26 27 28 20 30 37
|
eftlub |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ≤ ( ( ( abs ‘ - 1 ) ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) |
39 |
20
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
40 |
|
eluznn0 |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
41 |
39 40
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
42 |
26
|
eftval |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) |
43 |
41 42
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) |
44 |
43
|
sumeq2dv |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) |
45 |
44
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
46 |
34
|
oveq1i |
⊢ ( ( abs ‘ - 1 ) ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( 1 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) |
47 |
20
|
nnzd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ) |
48 |
|
1exp |
⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ → ( 1 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) = 1 ) |
49 |
47 48
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) = 1 ) |
50 |
46 49
|
eqtrid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( abs ‘ - 1 ) ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) = 1 ) |
51 |
50
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( abs ‘ - 1 ) ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) |
52 |
|
faccl |
⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ ) |
53 |
39 52
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ ) |
54 |
53 20
|
nnmulcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ ) |
55 |
22 54
|
nndivred |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
56 |
55
|
recnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
57 |
56
|
mulid2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 · ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
58 |
51 57
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( abs ‘ - 1 ) ↑ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
59 |
38 45 58
|
3brtr3d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
60 |
|
eqid |
⊢ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) |
61 |
|
eftcl |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
62 |
29 61
|
mpan |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
63 |
41 62
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
64 |
26
|
eftlcvg |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ) → seq ( 𝑁 + 1 ) ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ dom ⇝ ) |
65 |
29 39 64
|
sylancr |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → seq ( 𝑁 + 1 ) ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ dom ⇝ ) |
66 |
60 47 43 63 65
|
isumcl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
67 |
66
|
abscld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
68 |
5
|
nnred |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
69 |
5
|
nngt0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 0 < ( ! ‘ 𝑁 ) ) |
70 |
|
lemul2 |
⊢ ( ( ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ↔ ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) ≤ ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) ) |
71 |
67 55 68 69 70
|
syl112anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ↔ ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) ≤ ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) ) |
72 |
59 71
|
mpbid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) ≤ ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) |
73 |
1 2
|
subfacval2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
74 |
3 73
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
75 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
76 |
|
pncan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
77 |
75 31 76
|
sylancl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) = 𝑁 ) |
78 |
77
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) = ( 0 ... 𝑁 ) ) |
79 |
78
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) |
80 |
79
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
81 |
74 80
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
82 |
81
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) + ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
83 |
|
divrec |
⊢ ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ∧ e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0 ) → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 1 / e ) ) ) |
84 |
8 10 83
|
mp3an23 |
⊢ ( ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 1 / e ) ) ) |
85 |
6 84
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 1 / e ) ) ) |
86 |
|
df-e |
⊢ e = ( exp ‘ 1 ) |
87 |
86
|
oveq2i |
⊢ ( 1 / e ) = ( 1 / ( exp ‘ 1 ) ) |
88 |
|
efneg |
⊢ ( 1 ∈ ℂ → ( exp ‘ - 1 ) = ( 1 / ( exp ‘ 1 ) ) ) |
89 |
31 88
|
ax-mp |
⊢ ( exp ‘ - 1 ) = ( 1 / ( exp ‘ 1 ) ) |
90 |
|
efval |
⊢ ( - 1 ∈ ℂ → ( exp ‘ - 1 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) |
91 |
29 90
|
ax-mp |
⊢ ( exp ‘ - 1 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) |
92 |
87 89 91
|
3eqtr2i |
⊢ ( 1 / e ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) |
93 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
94 |
42
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) |
95 |
62
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
96 |
|
0nn0 |
⊢ 0 ∈ ℕ0 |
97 |
26
|
eftlcvg |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → seq 0 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ dom ⇝ ) |
98 |
29 96 97
|
mp2an |
⊢ seq 0 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ dom ⇝ |
99 |
98
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → seq 0 ( + , ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( - 1 ↑ 𝑛 ) / ( ! ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ dom ⇝ ) |
100 |
93 60 39 94 95 99
|
isumsplit |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
101 |
92 100
|
eqtrid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / e ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
102 |
101
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 1 / e ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
103 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ∈ Fin ) |
104 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
105 |
104
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
106 |
29 105 61
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ) → ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
107 |
103 106
|
fsumcl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
108 |
6 107 66
|
adddid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
109 |
85 102 108
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) = ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
110 |
82 109
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) + ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) ) |
111 |
6 66
|
mulcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ℂ ) |
112 |
13 17 111
|
subaddd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) − ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) + ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) ) ) |
113 |
110 112
|
mpbird |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) − ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
114 |
113
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) − ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
115 |
6 66
|
absmuld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ ( ( ! ‘ 𝑁 ) · Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ( ! ‘ 𝑁 ) ) · ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
116 |
5
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
117 |
116
|
nn0ge0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ ( ! ‘ 𝑁 ) ) |
118 |
68 117
|
absidd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ ( ! ‘ 𝑁 ) ) = ( ! ‘ 𝑁 ) ) |
119 |
118
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( abs ‘ ( ! ‘ 𝑁 ) ) · ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
120 |
114 115 119
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) − ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( abs ‘ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) / ( ! ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
121 |
|
facp1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
122 |
3 121
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
123 |
122
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
124 |
20
|
nncnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ ) |
125 |
6 124 124
|
mulassd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
126 |
123 125
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
127 |
126
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) / ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
128 |
21
|
nncnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ∈ ℂ ) |
129 |
23
|
nncnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
130 |
23
|
nnne0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ≠ 0 ) |
131 |
5
|
nnne0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ! ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) |
132 |
128 129 6 130 131
|
divcan5d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) / ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
133 |
54
|
nncnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
134 |
54
|
nnne0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ≠ 0 ) |
135 |
6 128 133 134
|
divassd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) |
136 |
127 132 135
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) |
137 |
72 120 136
|
3brtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) − ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
138 |
|
nnmulcl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
139 |
21 138
|
mpancom |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
140 |
139
|
nnred |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
141 |
140
|
ltp1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) < ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) + 1 ) ) |
142 |
129
|
mulid2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
143 |
31
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ ) |
144 |
75 143 124
|
adddird |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( 𝑁 · ( 𝑁 + 1 ) ) + ( 1 · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
145 |
75 124
|
mulcomd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 · ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) ) |
146 |
124
|
mulid2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 · ( 𝑁 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
147 |
145 146
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 · ( 𝑁 + 1 ) ) + ( 1 · ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) + ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
148 |
124 143 75
|
adddird |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) + ( 1 · 𝑁 ) ) ) |
149 |
148
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) + ( 1 · 𝑁 ) ) + 1 ) ) |
150 |
75
|
mulid2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 · 𝑁 ) = 𝑁 ) |
151 |
150
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) + ( 1 · 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) + 𝑁 ) ) |
152 |
151
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) + ( 1 · 𝑁 ) ) + 1 ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) + 𝑁 ) + 1 ) ) |
153 |
124 75
|
mulcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
154 |
153 75 143
|
addassd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) + 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) + ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
155 |
149 152 154
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑁 ) + ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
156 |
147 155
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 · ( 𝑁 + 1 ) ) + ( 1 · ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) + 1 ) ) |
157 |
142 144 156
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) + 1 ) ) |
158 |
141 157
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) < ( 1 · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
159 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
160 |
|
nngt0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁 ) |
161 |
159 160
|
jca |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁 ) ) |
162 |
|
1red |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ ) |
163 |
|
nnre |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
164 |
|
nngt0 |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ → 0 < ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
165 |
163 164
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
166 |
23 165
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
167 |
|
lt2mul2div |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁 ) ) ∧ ( 1 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) < ( 1 · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) < ( 1 / 𝑁 ) ) ) |
168 |
22 161 162 166 167
|
syl22anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) · 𝑁 ) < ( 1 · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) < ( 1 / 𝑁 ) ) ) |
169 |
158 168
|
mpbid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) / ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ) < ( 1 / 𝑁 ) ) |
170 |
19 24 25 137 169
|
lelttrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( abs ‘ ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / e ) − ( 𝑆 ‘ 𝑁 ) ) ) < ( 1 / 𝑁 ) ) |