Metamath Proof Explorer


Theorem submul2

Description: Convert a subtraction to addition using multiplication by a negative. (Contributed by NM, 2-Feb-2007)

Ref Expression
Assertion submul2 ( ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ ) โ†’ ( ๐ด โˆ’ ( ๐ต ยท ๐ถ ) ) = ( ๐ด + ( ๐ต ยท - ๐ถ ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mulneg2 โŠข ( ( ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ ) โ†’ ( ๐ต ยท - ๐ถ ) = - ( ๐ต ยท ๐ถ ) )
2 1 adantl โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ ) ) โ†’ ( ๐ต ยท - ๐ถ ) = - ( ๐ต ยท ๐ถ ) )
3 2 oveq2d โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ ) ) โ†’ ( ๐ด + ( ๐ต ยท - ๐ถ ) ) = ( ๐ด + - ( ๐ต ยท ๐ถ ) ) )
4 mulcl โŠข ( ( ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ ) โ†’ ( ๐ต ยท ๐ถ ) โˆˆ โ„‚ )
5 negsub โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ต ยท ๐ถ ) โˆˆ โ„‚ ) โ†’ ( ๐ด + - ( ๐ต ยท ๐ถ ) ) = ( ๐ด โˆ’ ( ๐ต ยท ๐ถ ) ) )
6 4 5 sylan2 โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ ) ) โ†’ ( ๐ด + - ( ๐ต ยท ๐ถ ) ) = ( ๐ด โˆ’ ( ๐ต ยท ๐ถ ) ) )
7 3 6 eqtr2d โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ( ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ ) ) โ†’ ( ๐ด โˆ’ ( ๐ต ยท ๐ถ ) ) = ( ๐ด + ( ๐ต ยท - ๐ถ ) ) )
8 7 3impb โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ ) โ†’ ( ๐ด โˆ’ ( ๐ต ยท ๐ถ ) ) = ( ๐ด + ( ๐ต ยท - ๐ถ ) ) )