Theorem submuladdmuld

Description: Transformation of a sum of a product of a difference and a product with the subtrahend of the difference. (Contributed by AV, 2-Feb-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	submuladdmuld.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
	submuladdmuld.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
	submuladdmuld.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
	submuladdmuld.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
Assertion	submuladdmuld	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submuladdmuld.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
2		submuladdmuld.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
3		submuladdmuld.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
4		submuladdmuld.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
5	1 2 3	subdird	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · 𝐶 ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
6	5	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
7	1 3	mulcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
8	2 3	mulcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
9	2 4	mulcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · 𝐷 ) ∈ ℂ )
10	7 8 9	subadd23d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( ( 𝐵 · 𝐷 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) )
11	2 4 3	subdid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · ( 𝐷 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐷 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
12	11	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 · 𝐷 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( 𝐵 · ( 𝐷 − 𝐶 ) ) )
13	12	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( ( 𝐵 · 𝐷 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) )
14	6 10 13	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) )