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Theorem suppssr

Description: A function is zero outside its support. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014) (Revised by AV, 28-May-2019)

Ref Expression
Hypotheses suppssr.f ( 𝜑𝐹 : 𝐴𝐵 )
suppssr.n ( 𝜑 → ( 𝐹 supp 𝑍 ) ⊆ 𝑊 )
suppssr.a ( 𝜑𝐴𝑉 )
suppssr.z ( 𝜑𝑍𝑈 )
Assertion suppssr ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝐴𝑊 ) ) → ( 𝐹𝑋 ) = 𝑍 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 suppssr.f ( 𝜑𝐹 : 𝐴𝐵 )
2 suppssr.n ( 𝜑 → ( 𝐹 supp 𝑍 ) ⊆ 𝑊 )
3 suppssr.a ( 𝜑𝐴𝑉 )
4 suppssr.z ( 𝜑𝑍𝑈 )
5 eldif ( 𝑋 ∈ ( 𝐴𝑊 ) ↔ ( 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑊 ) )
6 fvex ( 𝐹𝑋 ) ∈ V
7 eldifsn ( ( 𝐹𝑋 ) ∈ ( V ∖ { 𝑍 } ) ↔ ( ( 𝐹𝑋 ) ∈ V ∧ ( 𝐹𝑋 ) ≠ 𝑍 ) )
8 6 7 mpbiran ( ( 𝐹𝑋 ) ∈ ( V ∖ { 𝑍 } ) ↔ ( 𝐹𝑋 ) ≠ 𝑍 )
9 1 ffnd ( 𝜑𝐹 Fn 𝐴 )
10 elsuppfn ( ( 𝐹 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑈 ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐹 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑋𝐴 ∧ ( 𝐹𝑋 ) ≠ 𝑍 ) ) )
11 9 3 4 10 syl3anc ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝐹 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑋𝐴 ∧ ( 𝐹𝑋 ) ≠ 𝑍 ) ) )
12 ibar ( ( 𝐹𝑋 ) ∈ V → ( ( 𝐹𝑋 ) ≠ 𝑍 ↔ ( ( 𝐹𝑋 ) ∈ V ∧ ( 𝐹𝑋 ) ≠ 𝑍 ) ) )
13 6 12 mp1i ( ( 𝜑𝑋𝐴 ) → ( ( 𝐹𝑋 ) ≠ 𝑍 ↔ ( ( 𝐹𝑋 ) ∈ V ∧ ( 𝐹𝑋 ) ≠ 𝑍 ) ) )
14 13 7 bitr4di ( ( 𝜑𝑋𝐴 ) → ( ( 𝐹𝑋 ) ≠ 𝑍 ↔ ( 𝐹𝑋 ) ∈ ( V ∖ { 𝑍 } ) ) )
15 14 pm5.32da ( 𝜑 → ( ( 𝑋𝐴 ∧ ( 𝐹𝑋 ) ≠ 𝑍 ) ↔ ( 𝑋𝐴 ∧ ( 𝐹𝑋 ) ∈ ( V ∖ { 𝑍 } ) ) ) )
16 11 15 bitrd ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝐹 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑋𝐴 ∧ ( 𝐹𝑋 ) ∈ ( V ∖ { 𝑍 } ) ) ) )
17 2 sseld ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝐹 supp 𝑍 ) → 𝑋𝑊 ) )
18 16 17 sylbird ( 𝜑 → ( ( 𝑋𝐴 ∧ ( 𝐹𝑋 ) ∈ ( V ∖ { 𝑍 } ) ) → 𝑋𝑊 ) )
19 18 expdimp ( ( 𝜑𝑋𝐴 ) → ( ( 𝐹𝑋 ) ∈ ( V ∖ { 𝑍 } ) → 𝑋𝑊 ) )
20 8 19 syl5bir ( ( 𝜑𝑋𝐴 ) → ( ( 𝐹𝑋 ) ≠ 𝑍𝑋𝑊 ) )
21 20 necon1bd ( ( 𝜑𝑋𝐴 ) → ( ¬ 𝑋𝑊 → ( 𝐹𝑋 ) = 𝑍 ) )
22 21 impr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑊 ) ) → ( 𝐹𝑋 ) = 𝑍 )
23 5 22 sylan2b ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝐴𝑊 ) ) → ( 𝐹𝑋 ) = 𝑍 )