Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-rab |
⊢ { 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ ( 𝑅 “ { 𝑥 } ) ≠ { 𝑍 } } = { 𝑥 ∣ ( 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ ( 𝑅 “ { 𝑥 } ) ≠ { 𝑍 } ) } |
2 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
3 |
2
|
eldm |
⊢ ( 𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ) |
4 |
|
imasng |
⊢ ( 𝑥 ∈ V → ( 𝑅 “ { 𝑥 } ) = { 𝑦 ∣ 𝑥 𝑅 𝑦 } ) |
5 |
4
|
elv |
⊢ ( 𝑅 “ { 𝑥 } ) = { 𝑦 ∣ 𝑥 𝑅 𝑦 } |
6 |
5
|
neeq1i |
⊢ ( ( 𝑅 “ { 𝑥 } ) ≠ { 𝑍 } ↔ { 𝑦 ∣ 𝑥 𝑅 𝑦 } ≠ { 𝑍 } ) |
7 |
|
df-sn |
⊢ { 𝑍 } = { 𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍 } |
8 |
7
|
neeq2i |
⊢ ( { 𝑦 ∣ 𝑥 𝑅 𝑦 } ≠ { 𝑍 } ↔ { 𝑦 ∣ 𝑥 𝑅 𝑦 } ≠ { 𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍 } ) |
9 |
|
nabbib |
⊢ ( { 𝑦 ∣ 𝑥 𝑅 𝑦 } ≠ { 𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍 } ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) ) |
10 |
6 8 9
|
3bitri |
⊢ ( ( 𝑅 “ { 𝑥 } ) ≠ { 𝑍 } ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) ) |
11 |
3 10
|
anbi12i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ ( 𝑅 “ { 𝑥 } ) ≠ { 𝑍 } ) ↔ ( ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) ) ) |
12 |
11
|
abbii |
⊢ { 𝑥 ∣ ( 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ ( 𝑅 “ { 𝑥 } ) ≠ { 𝑍 } ) } = { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) ) } |
13 |
1 12
|
eqtr2i |
⊢ { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) ) } = { 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ ( 𝑅 “ { 𝑥 } ) ≠ { 𝑍 } } |
14 |
13
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) ) } = { 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ ( 𝑅 “ { 𝑥 } ) ≠ { 𝑍 } } ) |
15 |
|
df-ne |
⊢ ( 𝑦 ≠ 𝑍 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) |
16 |
15
|
bibi2i |
⊢ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍 ) ↔ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) ) |
17 |
16
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍 ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) ) |
18 |
17
|
anbi2i |
⊢ ( ( ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍 ) ) ↔ ( ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) ) ) |
19 |
18
|
abbii |
⊢ { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍 ) ) } = { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) ) } |
20 |
19
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍 ) ) } = { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍 ) ) } ) |
21 |
|
suppval |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑅 supp 𝑍 ) = { 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ ( 𝑅 “ { 𝑥 } ) ≠ { 𝑍 } } ) |
22 |
14 20 21
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑅 supp 𝑍 ) = { 𝑥 ∣ ( ∃ 𝑦 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍 ) ) } ) |