Theorem swopolem

Description: Perform the substitutions into the strict weak ordering law. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2014)

	Ref	Expression
Hypothesis	swopolem.1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ( 𝑥 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) )
Assertion	swopolem	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑋 𝑅 𝑌 → ( 𝑋 𝑅 𝑍 ∨ 𝑍 𝑅 𝑌 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swopolem.1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ( 𝑥 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) )
2	1	ralrimivvva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ( 𝑥 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) )
3		breq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑋 𝑅 𝑦 ) )
4		breq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 𝑅 𝑧 ↔ 𝑋 𝑅 𝑧 ) )
5	4	orbi1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝑥 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑦 ) ↔ ( 𝑋 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) )
6	3 5	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ( 𝑥 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑋 𝑅 𝑦 → ( 𝑋 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ) )
7		breq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( 𝑋 𝑅 𝑦 ↔ 𝑋 𝑅 𝑌 ) )
8		breq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( 𝑧 𝑅 𝑦 ↔ 𝑧 𝑅 𝑌 ) )
9	8	orbi2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( ( 𝑋 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑦 ) ↔ ( 𝑋 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑌 ) ) )
10	7 9	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( ( 𝑋 𝑅 𝑦 → ( 𝑋 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑋 𝑅 𝑌 → ( 𝑋 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑌 ) ) ) )
11		breq2	⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( 𝑋 𝑅 𝑧 ↔ 𝑋 𝑅 𝑍 ) )
12		breq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( 𝑧 𝑅 𝑌 ↔ 𝑍 𝑅 𝑌 ) )
13	11 12	orbi12d	⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( ( 𝑋 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑌 ) ↔ ( 𝑋 𝑅 𝑍 ∨ 𝑍 𝑅 𝑌 ) ) )
14	13	imbi2d	⊢ ( 𝑧 = 𝑍 → ( ( 𝑋 𝑅 𝑌 → ( 𝑋 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑋 𝑅 𝑌 → ( 𝑋 𝑅 𝑍 ∨ 𝑍 𝑅 𝑌 ) ) ) )
15	6 10 14	rspc3v	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ( 𝑥 𝑅 𝑧 ∨ 𝑧 𝑅 𝑦 ) ) → ( 𝑋 𝑅 𝑌 → ( 𝑋 𝑅 𝑍 ∨ 𝑍 𝑅 𝑌 ) ) ) )
16	2 15	mpan9	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑋 𝑅 𝑌 → ( 𝑋 𝑅 𝑍 ∨ 𝑍 𝑅 𝑌 ) ) )