Theorem symgfixfolem1

Description: Lemma 1 for symgfixfo . (Contributed by AV, 7-Jan-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	symgfixf.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) )
	symgfixf.q	⊢ 𝑄 = { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 }
	symgfixf.s	⊢ 𝑆 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) )
	symgfixf.h	⊢ 𝐻 = ( 𝑞 ∈ 𝑄 ↦ ( 𝑞 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) )
	symgfixfo.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑥 = 𝐾 , 𝐾 , ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
Assertion	symgfixfolem1	⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) → 𝐸 ∈ 𝑄 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) )
2		symgfixf.q	⊢ 𝑄 = { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 }
3		symgfixf.s	⊢ 𝑆 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) )
4		symgfixf.h	⊢ 𝐻 = ( 𝑞 ∈ 𝑄 ↦ ( 𝑞 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) )
5		symgfixfo.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑥 = 𝐾 , 𝐾 , ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
6	3 5	symgextf1o	⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) → 𝐸 : 𝑁 –1-1-onto→ 𝑁 )
7	6	3adant1	⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) → 𝐸 : 𝑁 –1-1-onto→ 𝑁 )
8		iftrue	⊢ ( 𝑥 = 𝐾 → if ( 𝑥 = 𝐾 , 𝐾 , ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = 𝐾 )
9		simp2	⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) → 𝐾 ∈ 𝑁 )
10	5 8 9 9	fvmptd3	⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐸 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 )
11		mptexg	⊢ ( 𝑁 ∈ 𝑉 → ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑥 = 𝐾 , 𝐾 , ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
12	11	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑥 = 𝐾 , 𝐾 , ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
13	5 12	eqeltrid	⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) → 𝐸 ∈ V )
14	1 2	symgfixelq	⊢ ( 𝐸 ∈ V → ( 𝐸 ∈ 𝑄 ↔ ( 𝐸 : 𝑁 –1-1-onto→ 𝑁 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 ) ) )
15	13 14	syl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐸 ∈ 𝑄 ↔ ( 𝐸 : 𝑁 –1-1-onto→ 𝑁 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 ) ) )
16	7 10 15	mpbir2and	⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ) → 𝐸 ∈ 𝑄 )