Theorem tendoplcl

Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	tendopl.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	tendopl.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	tendopl.e	⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	tendopl.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑠 ∈ 𝐸 , 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ∘ ( 𝑡 ‘ 𝑓 ) ) ) )
Assertion	tendoplcl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendopl.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2		tendopl.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3		tendopl.e	⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4		tendopl.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑠 ∈ 𝐸 , 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ∘ ( 𝑡 ‘ 𝑓 ) ) ) )
5		eqid	⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
6		eqid	⊢ ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7		simp1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
8		simpl1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
9		simpl2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
10		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑔 ∈ 𝑇 )
11	1 2 3	tendocl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
12	8 9 10 11	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
13		simpl3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
14	1 2 3	tendocl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
15	8 13 10 14	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
16	1 2	ltrnco	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ∈ 𝑇 )
17	8 12 15 16	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ∈ 𝑇 )
18	17	fmpttd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 )
19	4 2	tendopl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) )
20	19	3adant1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) )
21	20	feq1d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 ↔ ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 ) )
22	18 21	mpbird	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 )
23		simp11	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
24		simp12	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
25		simp13	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
26		3simpc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) )
27	1 2 3 4	tendoplco2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ( ℎ ∘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑖 ) ) )
28	23 24 25 26 27	syl121anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ( ℎ ∘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑖 ) ) )
29		simpl1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
30		simpl2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
31		simpl3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
32		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ℎ ∈ 𝑇 )
33	1 2 3 4 5 6	tendopltp	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ℎ ) )
34	29 30 31 32 33	syl121anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ℎ ) )
35	5 1 2 6 3 7 22 28 34	istendod	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 )