Theorem tgbtwntriv2

Description: Betweenness always holds for the second endpoint. Theorem 3.1 of Schwabhauser p. 30. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	tkgeom.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	tkgeom.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	tkgeom.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	tkgeom.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	tgbtwntriv2.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
	tgbtwntriv2.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
Assertion	tgbtwntriv2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tkgeom.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		tkgeom.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3		tkgeom.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		tkgeom.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
5		tgbtwntriv2.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
6		tgbtwntriv2.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
7		simprl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) )
8	4	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
9	6	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
10		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
11		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐵 ) ) → ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐵 ) )
12	1 2 3 8 9 10 9 11	axtgcgrid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐵 ) ) → 𝐵 = 𝑥 )
13	12	adantrl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐵 ) ) ) → 𝐵 = 𝑥 )
14	13	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐵 ) ) ) → ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) = ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) )
15	7 14	eleqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) )
16	1 2 3 4 5 6 6 6	axtgsegcon	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐵 ) ) )
17	15 16	r19.29a	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) )