Theorem tgdim01ln

Description: In geometries of dimension less than two, then any three points are colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	tglngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	tglngval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	tglngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	tglngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	tglngval.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
	tglngval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
	tgcolg.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
	tgdim01ln.1	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐺 DimTarskiG≥ 2 )
Assertion	tgdim01ln	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		tglngval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
3		tglngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		tglngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
5		tglngval.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
6		tglngval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
7		tgcolg.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
8		tgdim01ln.1	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐺 DimTarskiG≥ 2 )
9	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
10	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
11	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
12	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 )
13		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) )
14	1 2 3 9 10 11 12 13	btwncolg1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) )
15	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
16	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
17	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
18	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 )
19		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) )
20	1 2 3 15 16 17 18 19	btwncolg2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) )
21	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
22	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
23	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
24	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 )
25		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) )
26	1 2 3 21 22 23 24 25	btwncolg3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) )
27	1 3 4 8 5 6 7	tgdim01	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) )
28	14 20 26 27	mpjao3dan	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) )