Theorem tglineinsn

Description: If two distinct lines intersect, it is at a single point. Theorem 6.21 of Schwabhauser p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	tglineintmo.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	tglineinsn.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿 )
	tglineinsn.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿 )
	tglineinsn.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵 )
	tglineinsn.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) )
Assertion	tglineinsn	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = { 𝑋 } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
3		tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
4		tglineintmo.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
5		tglineinsn.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿 )
6		tglineinsn.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿 )
7		tglineinsn.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵 )
8		tglineinsn.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) )
9	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
10	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ran 𝐿 )
11	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ran 𝐿 )
12	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 )
13		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) )
14	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) )
15	1 2 3 9 10 11 12 13 14	tglineineq	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → 𝑥 = 𝑋 )
16	15 8	eqsnd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = { 𝑋 } )