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Theorem truniALTVD

Description: The union of a class of transitive sets is transitive. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. truniALT is truniALTVD without virtual deductions and was automatically derived from truniALTVD .

1:: |- (. A. x e. A Tr x ->. A. x e. A Tr x ).
2:: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) ->. ( z e. y /\ y e. U. A ) ).
3:2: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) ->. z e. y ).
4:2: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) ->. y e. U. A ).
5:4: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) ->. E. q ( y e. q /\ q e. A ) ).
6:: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) , ( y e. q /\ q e. A ) ->. ( y e. q /\ q e. A ) ).
7:6: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) , ( y e. q /\ q e. A ) ->. y e. q ).
8:6: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) , ( y e. q /\ q e. A ) ->. q e. A ).
9:1,8: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) , ( y e. q /\ q e. A ) ->. [ q / x ] Tr x ).
10:8,9: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) , ( y e. q /\ q e. A ) ->. Tr q ).
11:3,7,10: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) , ( y e. q /\ q e. A ) ->. z e. q ).
12:11,8: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) , ( y e. q /\ q e. A ) ->. z e. U. A ).
13:12: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) ->. ( ( y e. q /\ q e. A ) -> z e. U. A ) ).
14:13: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) ->. A. q ( ( y e. q /\ q e. A ) -> z e. U. A ) ).
15:14: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) ->. ( E. q ( y e. q /\ q e. A ) -> z e. U. A ) ).
16:5,15: |- (. A. x e. A Tr x ,. ( z e. y /\ y e. U. A ) ->. z e. U. A ).
17:16: |- (. A. x e. A Tr x ->. ( ( z e. y /\ y e. U. A ) -> z e. U. A ) ).
18:17: |- (. A. x e. A Tr x ->. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. U. A ) -> z e. U. A ) ).
19:18: |- (. A. x e. A Tr x ->. Tr U. A ).
qed:19: |- ( A. x e. A Tr x -> Tr U. A )
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion truniALTVD ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥 → Tr ∪ 𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 idn2 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ▶    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    )
2 simpr ⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )
3 1 2 e2 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ▶    𝑦 ∈ ∪ 𝐴    )
4 eluni ⊢ ( 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃ 𝑞 ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) )
5 4 biimpi ⊢ ( 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 → ∃ 𝑞 ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) )
6 3 5 e2 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ▶    ∃ 𝑞 ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 )    )
7 simpl ⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ 𝑦 )
8 1 7 e2 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ▶    𝑧 ∈ 𝑦    )
9 idn3 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ,    ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 )    ▶    ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 )    )
10 simpl ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ∈ 𝑞 )
11 9 10 e3 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ,    ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 )    ▶    𝑦 ∈ 𝑞    )
12 simpr ⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑞 ∈ 𝐴 )
13 9 12 e3 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ,    ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 )    ▶    𝑞 ∈ 𝐴    )
14 idn1 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ▶    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    )
15 rspsbc ⊢ ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥 → [ 𝑞 / 𝑥 ] Tr 𝑥 ) )
16 15 com12 ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥 → ( 𝑞 ∈ 𝐴 → [ 𝑞 / 𝑥 ] Tr 𝑥 ) )
17 14 13 16 e13 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ,    ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 )    ▶    [ 𝑞 / 𝑥 ] Tr 𝑥    )
18 trsbc ⊢ ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( [ 𝑞 / 𝑥 ] Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑞 ) )
19 18 biimpd ⊢ ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( [ 𝑞 / 𝑥 ] Tr 𝑥 → Tr 𝑞 ) )
20 13 17 19 e33 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ,    ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 )    ▶    Tr 𝑞    )
21 trel ⊢ ( Tr 𝑞 → ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑞 ) → 𝑧 ∈ 𝑞 ) )
22 21 expdcom ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑦 ∈ 𝑞 → ( Tr 𝑞 → 𝑧 ∈ 𝑞 ) ) )
23 8 11 20 22 e233 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ,    ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 )    ▶    𝑧 ∈ 𝑞    )
24 elunii ⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 )
25 24 ex ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝑞 → ( 𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ) )
26 23 13 25 e33 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ,    ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 )    ▶    𝑧 ∈ ∪ 𝐴    )
27 26 in3 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ▶    ( ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 )    )
28 27 gen21 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ▶    ∀ 𝑞 ( ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 )    )
29 19.23v ⊢ ( ∀ 𝑞 ( ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ) ↔ ( ∃ 𝑞 ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ) )
30 29 biimpi ⊢ ( ∀ 𝑞 ( ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑞 ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ) )
31 28 30 e2 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ▶    ( ∃ 𝑞 ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 )    )
32 pm2.27 ⊢ ( ∃ 𝑞 ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( ( ∃ 𝑞 ( 𝑦 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ) )
33 6 31 32 e22 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ,    ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 )    ▶    𝑧 ∈ ∪ 𝐴    )
34 33 in2 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ▶    ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 )    )
35 34 gen12 ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ▶    ∀ 𝑧 ∀ 𝑦 ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 )    )
36 dftr2 ⊢ ( Tr ∪ 𝐴 ↔ ∀ 𝑧 ∀ 𝑦 ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ) )
37 36 biimpri ⊢ ( ∀ 𝑧 ∀ 𝑦 ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ) → Tr ∪ 𝐴 )
38 35 37 e1a ⊢ (    ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥    ▶    Tr ∪ 𝐴    )
39 38 in1 ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥 → Tr ∪ 𝐴 )