Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
uniioombl.1 |
โข ( ๐ โ ๐น : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) ) |
2 |
|
uniioombl.2 |
โข ( ๐ โ Disj ๐ฅ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ฅ ) ) ) |
3 |
|
uniioombl.3 |
โข ๐ = seq 1 ( + , ( ( abs โ โ ) โ ๐น ) ) |
4 |
|
uniioombl.a |
โข ๐ด = โช ran ( (,) โ ๐น ) |
5 |
|
uniioombl.e |
โข ( ๐ โ ( vol* โ ๐ธ ) โ โ ) |
6 |
|
uniioombl.c |
โข ( ๐ โ ๐ถ โ โ+ ) |
7 |
|
uniioombl.g |
โข ( ๐ โ ๐บ : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) ) |
8 |
|
uniioombl.s |
โข ( ๐ โ ๐ธ โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) ) |
9 |
|
uniioombl.t |
โข ๐ = seq 1 ( + , ( ( abs โ โ ) โ ๐บ ) ) |
10 |
|
uniioombl.v |
โข ( ๐ โ sup ( ran ๐ , โ* , < ) โค ( ( vol* โ ๐ธ ) + ๐ถ ) ) |
11 |
|
uniioombl.m |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
12 |
|
uniioombl.m2 |
โข ( ๐ โ ( abs โ ( ( ๐ โ ๐ ) โ sup ( ran ๐ , โ* , < ) ) ) < ๐ถ ) |
13 |
|
uniioombl.k |
โข ๐พ = โช ( ( (,) โ ๐บ ) โ ( 1 ... ๐ ) ) |
14 |
|
uniioombl.n |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
15 |
|
uniioombl.n2 |
โข ( ๐ โ โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( abs โ ( ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) ) ) < ( ๐ถ / ๐ ) ) |
16 |
|
uniioombl.l |
โข ๐ฟ = โช ( ( (,) โ ๐น ) โ ( 1 ... ๐ ) ) |
17 |
|
inss1 |
โข ( ๐พ โฉ ๐ด ) โ ๐พ |
18 |
|
imassrn |
โข ( ( (,) โ ๐บ ) โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ran ( (,) โ ๐บ ) |
19 |
18
|
unissi |
โข โช ( ( (,) โ ๐บ ) โ ( 1 ... ๐ ) ) โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) |
20 |
13 19
|
eqsstri |
โข ๐พ โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) |
21 |
7
|
uniiccdif |
โข ( ๐ โ ( โช ran ( (,) โ ๐บ ) โ โช ran ( [,] โ ๐บ ) โง ( vol* โ ( โช ran ( [,] โ ๐บ ) โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) ) ) = 0 ) ) |
22 |
21
|
simpld |
โข ( ๐ โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) โ โช ran ( [,] โ ๐บ ) ) |
23 |
|
ovolficcss |
โข ( ๐บ : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โ โช ran ( [,] โ ๐บ ) โ โ ) |
24 |
7 23
|
syl |
โข ( ๐ โ โช ran ( [,] โ ๐บ ) โ โ ) |
25 |
22 24
|
sstrd |
โข ( ๐ โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) โ โ ) |
26 |
20 25
|
sstrid |
โข ( ๐ โ ๐พ โ โ ) |
27 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
uniioombllem1 |
โข ( ๐ โ sup ( ran ๐ , โ* , < ) โ โ ) |
28 |
|
ssid |
โข โช ran ( (,) โ ๐บ ) โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) |
29 |
9
|
ovollb |
โข ( ( ๐บ : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โง โช ran ( (,) โ ๐บ ) โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) ) โ ( vol* โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) ) โค sup ( ran ๐ , โ* , < ) ) |
30 |
7 28 29
|
sylancl |
โข ( ๐ โ ( vol* โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) ) โค sup ( ran ๐ , โ* , < ) ) |
31 |
|
ovollecl |
โข ( ( โช ran ( (,) โ ๐บ ) โ โ โง sup ( ran ๐ , โ* , < ) โ โ โง ( vol* โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) ) โค sup ( ran ๐ , โ* , < ) ) โ ( vol* โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) ) โ โ ) |
32 |
25 27 30 31
|
syl3anc |
โข ( ๐ โ ( vol* โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) ) โ โ ) |
33 |
|
ovolsscl |
โข ( ( ๐พ โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) โง โช ran ( (,) โ ๐บ ) โ โ โง ( vol* โ โช ran ( (,) โ ๐บ ) ) โ โ ) โ ( vol* โ ๐พ ) โ โ ) |
34 |
20 25 32 33
|
mp3an2i |
โข ( ๐ โ ( vol* โ ๐พ ) โ โ ) |
35 |
|
ovolsscl |
โข ( ( ( ๐พ โฉ ๐ด ) โ ๐พ โง ๐พ โ โ โง ( vol* โ ๐พ ) โ โ ) โ ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ด ) ) โ โ ) |
36 |
17 26 34 35
|
mp3an2i |
โข ( ๐ โ ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ด ) ) โ โ ) |
37 |
|
inss1 |
โข ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โ ๐พ |
38 |
|
ovolsscl |
โข ( ( ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โ ๐พ โง ๐พ โ โ โง ( vol* โ ๐พ ) โ โ ) โ ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) ) โ โ ) |
39 |
37 26 34 38
|
mp3an2i |
โข ( ๐ โ ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) ) โ โ ) |
40 |
|
ssun2 |
โข โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โช โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
41 |
|
nnuz |
โข โ = ( โคโฅ โ 1 ) |
42 |
14
|
peano2nnd |
โข ( ๐ โ ( ๐ + 1 ) โ โ ) |
43 |
42 41
|
eleqtrdi |
โข ( ๐ โ ( ๐ + 1 ) โ ( โคโฅ โ 1 ) ) |
44 |
|
uzsplit |
โข ( ( ๐ + 1 ) โ ( โคโฅ โ 1 ) โ ( โคโฅ โ 1 ) = ( ( 1 ... ( ( ๐ + 1 ) โ 1 ) ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) |
45 |
43 44
|
syl |
โข ( ๐ โ ( โคโฅ โ 1 ) = ( ( 1 ... ( ( ๐ + 1 ) โ 1 ) ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) |
46 |
41 45
|
eqtrid |
โข ( ๐ โ โ = ( ( 1 ... ( ( ๐ + 1 ) โ 1 ) ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) |
47 |
14
|
nncnd |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
48 |
|
ax-1cn |
โข 1 โ โ |
49 |
|
pncan |
โข ( ( ๐ โ โ โง 1 โ โ ) โ ( ( ๐ + 1 ) โ 1 ) = ๐ ) |
50 |
47 48 49
|
sylancl |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ + 1 ) โ 1 ) = ๐ ) |
51 |
50
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ( ( ๐ + 1 ) โ 1 ) ) = ( 1 ... ๐ ) ) |
52 |
51
|
uneq1d |
โข ( ๐ โ ( ( 1 ... ( ( ๐ + 1 ) โ 1 ) ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) = ( ( 1 ... ๐ ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) |
53 |
46 52
|
eqtrd |
โข ( ๐ โ โ = ( ( 1 ... ๐ ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) |
54 |
53
|
iuneq1d |
โข ( ๐ โ โช ๐ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) = โช ๐ โ ( ( 1 ... ๐ ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
55 |
|
iunxun |
โข โช ๐ โ ( ( 1 ... ๐ ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) = ( โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โช โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
56 |
54 55
|
eqtrdi |
โข ( ๐ โ โช ๐ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) = ( โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โช โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
57 |
|
ioof |
โข (,) : ( โ* ร โ* ) โถ ๐ซ โ |
58 |
|
inss2 |
โข ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โ ( โ ร โ ) |
59 |
|
rexpssxrxp |
โข ( โ ร โ ) โ ( โ* ร โ* ) |
60 |
58 59
|
sstri |
โข ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โ ( โ* ร โ* ) |
61 |
|
fss |
โข ( ( ๐น : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โง ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โ ( โ* ร โ* ) ) โ ๐น : โ โถ ( โ* ร โ* ) ) |
62 |
1 60 61
|
sylancl |
โข ( ๐ โ ๐น : โ โถ ( โ* ร โ* ) ) |
63 |
|
fco |
โข ( ( (,) : ( โ* ร โ* ) โถ ๐ซ โ โง ๐น : โ โถ ( โ* ร โ* ) ) โ ( (,) โ ๐น ) : โ โถ ๐ซ โ ) |
64 |
57 62 63
|
sylancr |
โข ( ๐ โ ( (,) โ ๐น ) : โ โถ ๐ซ โ ) |
65 |
|
ffn |
โข ( ( (,) โ ๐น ) : โ โถ ๐ซ โ โ ( (,) โ ๐น ) Fn โ ) |
66 |
|
fniunfv |
โข ( ( (,) โ ๐น ) Fn โ โ โช ๐ โ โ ( ( (,) โ ๐น ) โ ๐ ) = โช ran ( (,) โ ๐น ) ) |
67 |
64 65 66
|
3syl |
โข ( ๐ โ โช ๐ โ โ ( ( (,) โ ๐น ) โ ๐ ) = โช ran ( (,) โ ๐น ) ) |
68 |
|
fvco3 |
โข ( ( ๐น : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โง ๐ โ โ ) โ ( ( (,) โ ๐น ) โ ๐ ) = ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
69 |
1 68
|
sylan |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( (,) โ ๐น ) โ ๐ ) = ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
70 |
69
|
iuneq2dv |
โข ( ๐ โ โช ๐ โ โ ( ( (,) โ ๐น ) โ ๐ ) = โช ๐ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
71 |
67 70
|
eqtr3d |
โข ( ๐ โ โช ran ( (,) โ ๐น ) = โช ๐ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
72 |
4 71
|
eqtrid |
โข ( ๐ โ ๐ด = โช ๐ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
73 |
|
ffun |
โข ( ( (,) โ ๐น ) : โ โถ ๐ซ โ โ Fun ( (,) โ ๐น ) ) |
74 |
|
funiunfv |
โข ( Fun ( (,) โ ๐น ) โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ๐น ) โ ๐ ) = โช ( ( (,) โ ๐น ) โ ( 1 ... ๐ ) ) ) |
75 |
64 73 74
|
3syl |
โข ( ๐ โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ๐น ) โ ๐ ) = โช ( ( (,) โ ๐น ) โ ( 1 ... ๐ ) ) ) |
76 |
|
elfznn |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
77 |
1 76 68
|
syl2an |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( (,) โ ๐น ) โ ๐ ) = ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
78 |
77
|
iuneq2dv |
โข ( ๐ โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ๐น ) โ ๐ ) = โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
79 |
75 78
|
eqtr3d |
โข ( ๐ โ โช ( ( (,) โ ๐น ) โ ( 1 ... ๐ ) ) = โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
80 |
16 79
|
eqtrid |
โข ( ๐ โ ๐ฟ = โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
81 |
80
|
uneq1d |
โข ( ๐ โ ( ๐ฟ โช โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = ( โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โช โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
82 |
56 72 81
|
3eqtr4d |
โข ( ๐ โ ๐ด = ( ๐ฟ โช โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
83 |
82
|
ineq2d |
โข ( ๐ โ ( ๐พ โฉ ๐ด ) = ( ๐พ โฉ ( ๐ฟ โช โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) ) |
84 |
|
indi |
โข ( ๐พ โฉ ( ๐ฟ โช โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โช ( ๐พ โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
85 |
83 84
|
eqtrdi |
โข ( ๐ โ ( ๐พ โฉ ๐ด ) = ( ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โช ( ๐พ โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) ) |
86 |
|
fss |
โข ( ( ๐บ : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โง ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โ ( โ* ร โ* ) ) โ ๐บ : โ โถ ( โ* ร โ* ) ) |
87 |
7 60 86
|
sylancl |
โข ( ๐ โ ๐บ : โ โถ ( โ* ร โ* ) ) |
88 |
|
fco |
โข ( ( (,) : ( โ* ร โ* ) โถ ๐ซ โ โง ๐บ : โ โถ ( โ* ร โ* ) ) โ ( (,) โ ๐บ ) : โ โถ ๐ซ โ ) |
89 |
57 87 88
|
sylancr |
โข ( ๐ โ ( (,) โ ๐บ ) : โ โถ ๐ซ โ ) |
90 |
|
ffun |
โข ( ( (,) โ ๐บ ) : โ โถ ๐ซ โ โ Fun ( (,) โ ๐บ ) ) |
91 |
|
funiunfv |
โข ( Fun ( (,) โ ๐บ ) โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ๐บ ) โ ๐ ) = โช ( ( (,) โ ๐บ ) โ ( 1 ... ๐ ) ) ) |
92 |
89 90 91
|
3syl |
โข ( ๐ โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ๐บ ) โ ๐ ) = โช ( ( (,) โ ๐บ ) โ ( 1 ... ๐ ) ) ) |
93 |
|
elfznn |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
94 |
|
fvco3 |
โข ( ( ๐บ : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โง ๐ โ โ ) โ ( ( (,) โ ๐บ ) โ ๐ ) = ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
95 |
7 93 94
|
syl2an |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( (,) โ ๐บ ) โ ๐ ) = ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
96 |
95
|
iuneq2dv |
โข ( ๐ โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ๐บ ) โ ๐ ) = โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
97 |
92 96
|
eqtr3d |
โข ( ๐ โ โช ( ( (,) โ ๐บ ) โ ( 1 ... ๐ ) ) = โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
98 |
13 97
|
eqtrid |
โข ( ๐ โ ๐พ = โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
99 |
98
|
ineq2d |
โข ( ๐ โ ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ๐พ ) = ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
100 |
|
incom |
โข ( ๐พ โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ๐พ ) |
101 |
|
iunin2 |
โข โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
102 |
|
incom |
โข ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
103 |
102
|
a1i |
โข ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
104 |
103
|
iuneq2i |
โข โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
105 |
|
incom |
โข ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
106 |
101 104 105
|
3eqtr4ri |
โข ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
107 |
106
|
a1i |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
108 |
107
|
iuneq2i |
โข โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
109 |
|
iunin2 |
โข โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
110 |
108 109
|
eqtr3i |
โข โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
111 |
99 100 110
|
3eqtr4g |
โข ( ๐ โ ( ๐พ โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
112 |
111
|
uneq2d |
โข ( ๐ โ ( ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โช ( ๐พ โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โช โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
113 |
85 112
|
eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ๐พ โฉ ๐ด ) = ( ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โช โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
114 |
40 113
|
sseqtrrid |
โข ( ๐ โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( ๐พ โฉ ๐ด ) ) |
115 |
114 17
|
sstrdi |
โข ( ๐ โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐พ ) |
116 |
|
ovolsscl |
โข ( ( โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐พ โง ๐พ โ โ โง ( vol* โ ๐พ ) โ โ ) โ ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
117 |
115 26 34 116
|
syl3anc |
โข ( ๐ โ ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
118 |
39 117
|
readdcld |
โข ( ๐ โ ( ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) ) + ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ ) |
119 |
6
|
rpred |
โข ( ๐ โ ๐ถ โ โ ) |
120 |
39 119
|
readdcld |
โข ( ๐ โ ( ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) ) + ๐ถ ) โ โ ) |
121 |
113
|
fveq2d |
โข ( ๐ โ ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ด ) ) = ( vol* โ ( ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โช โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
122 |
37 26
|
sstrid |
โข ( ๐ โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โ โ ) |
123 |
115 26
|
sstrd |
โข ( ๐ โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
124 |
|
ovolun |
โข ( ( ( ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โ โ โง ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) ) โ โ ) โง ( โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ โง ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) ) โ ( vol* โ ( ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โช โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) โค ( ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) ) + ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
125 |
122 39 123 117 124
|
syl22anc |
โข ( ๐ โ ( vol* โ ( ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) โช โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) โค ( ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) ) + ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
126 |
121 125
|
eqbrtrd |
โข ( ๐ โ ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ด ) ) โค ( ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) ) + ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
127 |
|
fzfid |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ Fin ) |
128 |
|
iunss |
โข ( โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐พ โ โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐พ ) |
129 |
115 128
|
sylib |
โข ( ๐ โ โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐พ ) |
130 |
129
|
r19.21bi |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐พ ) |
131 |
26
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ๐พ โ โ ) |
132 |
34
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ๐พ ) โ โ ) |
133 |
|
ovolsscl |
โข ( ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐พ โง ๐พ โ โ โง ( vol* โ ๐พ ) โ โ ) โ ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
134 |
130 131 132 133
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
135 |
127 134
|
fsumrecl |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
136 |
130 131
|
sstrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
137 |
136 134
|
jca |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ โง ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) ) |
138 |
137
|
ralrimiva |
โข ( ๐ โ โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ โง ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) ) |
139 |
|
ovolfiniun |
โข ( ( ( 1 ... ๐ ) โ Fin โง โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ โง ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) ) โ ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โค ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
140 |
127 138 139
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โค ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
141 |
119 11
|
nndivred |
โข ( ๐ โ ( ๐ถ / ๐ ) โ โ ) |
142 |
141
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐ถ / ๐ ) โ โ ) |
143 |
80
|
ineq2d |
โข ( ๐ โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
144 |
143
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
145 |
102
|
a1i |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
146 |
145
|
iuneq2i |
โข โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
147 |
|
iunin2 |
โข โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
148 |
146 147
|
eqtri |
โข โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
149 |
144 148
|
eqtr4di |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) = โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
150 |
|
fzfid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( 1 ... ๐ ) โ Fin ) |
151 |
|
ffvelcdm |
โข ( ( ๐น : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โง ๐ โ โ ) โ ( ๐น โ ๐ ) โ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) ) |
152 |
1 76 151
|
syl2an |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐น โ ๐ ) โ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) ) |
153 |
152
|
elin2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐น โ ๐ ) โ ( โ ร โ ) ) |
154 |
|
1st2nd2 |
โข ( ( ๐น โ ๐ ) โ ( โ ร โ ) โ ( ๐น โ ๐ ) = โจ ( 1st โ ( ๐น โ ๐ ) ) , ( 2nd โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ) |
155 |
153 154
|
syl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐น โ ๐ ) = โจ ( 1st โ ( ๐น โ ๐ ) ) , ( 2nd โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ) |
156 |
155
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) = ( (,) โ โจ ( 1st โ ( ๐น โ ๐ ) ) , ( 2nd โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ) ) |
157 |
|
df-ov |
โข ( ( 1st โ ( ๐น โ ๐ ) ) (,) ( 2nd โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = ( (,) โ โจ ( 1st โ ( ๐น โ ๐ ) ) , ( 2nd โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ) |
158 |
156 157
|
eqtr4di |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) = ( ( 1st โ ( ๐น โ ๐ ) ) (,) ( 2nd โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
159 |
|
ioombl |
โข ( ( 1st โ ( ๐น โ ๐ ) ) (,) ( 2nd โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) โ dom vol |
160 |
158 159
|
eqeltrdi |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โ dom vol ) |
161 |
160
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โ dom vol ) |
162 |
|
ffvelcdm |
โข ( ( ๐บ : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โง ๐ โ โ ) โ ( ๐บ โ ๐ ) โ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) ) |
163 |
7 93 162
|
syl2an |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐บ โ ๐ ) โ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) ) |
164 |
163
|
elin2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐บ โ ๐ ) โ ( โ ร โ ) ) |
165 |
|
1st2nd2 |
โข ( ( ๐บ โ ๐ ) โ ( โ ร โ ) โ ( ๐บ โ ๐ ) = โจ ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) , ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ) |
166 |
164 165
|
syl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐บ โ ๐ ) = โจ ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) , ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ) |
167 |
166
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( (,) โ โจ ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) , ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ) ) |
168 |
|
df-ov |
โข ( ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) (,) ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( (,) โ โจ ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) , ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ) |
169 |
167 168
|
eqtr4di |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) (,) ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
170 |
|
ioombl |
โข ( ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) (,) ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol |
171 |
169 170
|
eqeltrdi |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ dom vol ) |
172 |
171
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ dom vol ) |
173 |
|
inmbl |
โข ( ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โ dom vol โง ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ dom vol ) โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol ) |
174 |
161 172 173
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol ) |
175 |
174
|
ralrimiva |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol ) |
176 |
|
finiunmbl |
โข ( ( ( 1 ... ๐ ) โ Fin โง โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol ) โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol ) |
177 |
150 175 176
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol ) |
178 |
149 177
|
eqeltrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) โ dom vol ) |
179 |
|
inss2 |
โข ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ ๐ด |
180 |
1
|
uniiccdif |
โข ( ๐ โ ( โช ran ( (,) โ ๐น ) โ โช ran ( [,] โ ๐น ) โง ( vol* โ ( โช ran ( [,] โ ๐น ) โ โช ran ( (,) โ ๐น ) ) ) = 0 ) ) |
181 |
180
|
simpld |
โข ( ๐ โ โช ran ( (,) โ ๐น ) โ โช ran ( [,] โ ๐น ) ) |
182 |
|
ovolficcss |
โข ( ๐น : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โ โช ran ( [,] โ ๐น ) โ โ ) |
183 |
1 182
|
syl |
โข ( ๐ โ โช ran ( [,] โ ๐น ) โ โ ) |
184 |
181 183
|
sstrd |
โข ( ๐ โ โช ran ( (,) โ ๐น ) โ โ ) |
185 |
4 184
|
eqsstrid |
โข ( ๐ โ ๐ด โ โ ) |
186 |
185
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ๐ด โ โ ) |
187 |
179 186
|
sstrid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ โ ) |
188 |
|
inss1 |
โข ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) |
189 |
|
ioossre |
โข ( ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) (,) ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ |
190 |
169 189
|
eqsstrdi |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ ) |
191 |
169
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( vol* โ ( ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) (,) ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
192 |
|
ovolfcl |
โข ( ( ๐บ : โ โถ ( โค โฉ ( โ ร โ ) ) โง ๐ โ โ ) โ ( ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ โง ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ โง ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โค ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
193 |
7 93 192
|
syl2an |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ โง ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ โง ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โค ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
194 |
|
ovolioo |
โข ( ( ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ โง ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ โง ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โค ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( vol* โ ( ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) (,) ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
195 |
193 194
|
syl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) (,) ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
196 |
191 195
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
197 |
193
|
simp2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ ) |
198 |
193
|
simp1d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ ) |
199 |
197 198
|
resubcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( 2nd โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ ( 1st โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
200 |
196 199
|
eqeltrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
201 |
|
ovolsscl |
โข ( ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โง ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ โง ( vol* โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โ โ ) |
202 |
188 190 200 201
|
mp3an2i |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โ โ ) |
203 |
|
mblsplit |
โข ( ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) โ dom vol โง ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ โ โง ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โ โ ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) = ( ( vol* โ ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โฉ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) ) + ( vol* โ ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) ) ) ) |
204 |
178 187 202 203
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) = ( ( vol* โ ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โฉ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) ) + ( vol* โ ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) ) ) ) |
205 |
|
imassrn |
โข ( ( (,) โ ๐น ) โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ran ( (,) โ ๐น ) |
206 |
205
|
unissi |
โข โช ( ( (,) โ ๐น ) โ ( 1 ... ๐ ) ) โ โช ran ( (,) โ ๐น ) |
207 |
206 16 4
|
3sstr4i |
โข ๐ฟ โ ๐ด |
208 |
|
sslin |
โข ( ๐ฟ โ ๐ด โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) |
209 |
207 208
|
mp1i |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) |
210 |
|
sseqin2 |
โข ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โฉ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) |
211 |
209 210
|
sylib |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โฉ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) |
212 |
211
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โฉ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) ) = ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) ) |
213 |
|
indifdir |
โข ( ( ๐ด โ ๐ฟ ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ด โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( ๐ฟ โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
214 |
|
incom |
โข ( ๐ด โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) |
215 |
|
incom |
โข ( ๐ฟ โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) |
216 |
214 215
|
difeq12i |
โข ( ( ๐ด โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( ๐ฟ โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) |
217 |
213 216
|
eqtri |
โข ( ( ๐ด โ ๐ฟ ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) |
218 |
82
|
eqcomd |
โข ( ๐ โ ( ๐ฟ โช โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = ๐ด ) |
219 |
80
|
ineq1d |
โข ( ๐ โ ( ๐ฟ โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = ( โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
220 |
|
2fveq3 |
โข ( ๐ฅ = ๐ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ฅ ) ) = ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
221 |
220
|
cbvdisjv |
โข ( Disj ๐ฅ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ฅ ) ) โ Disj ๐ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
222 |
2 221
|
sylib |
โข ( ๐ โ Disj ๐ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
223 |
|
fz1ssnn |
โข ( 1 ... ๐ ) โ โ |
224 |
223
|
a1i |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ โ ) |
225 |
|
uzss |
โข ( ( ๐ + 1 ) โ ( โคโฅ โ 1 ) โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โ ( โคโฅ โ 1 ) ) |
226 |
43 225
|
syl |
โข ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โ ( โคโฅ โ 1 ) ) |
227 |
226 41
|
sseqtrrdi |
โข ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โ โ ) |
228 |
51
|
ineq1d |
โข ( ๐ โ ( ( 1 ... ( ( ๐ + 1 ) โ 1 ) ) โฉ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) = ( ( 1 ... ๐ ) โฉ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) |
229 |
|
uzdisj |
โข ( ( 1 ... ( ( ๐ + 1 ) โ 1 ) ) โฉ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) = โ
|
230 |
228 229
|
eqtr3di |
โข ( ๐ โ ( ( 1 ... ๐ ) โฉ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) = โ
) |
231 |
|
disjiun |
โข ( ( Disj ๐ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โง ( ( 1 ... ๐ ) โ โ โง ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โ โ โง ( ( 1 ... ๐ ) โฉ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) = โ
) ) โ ( โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = โ
) |
232 |
222 224 227 230 231
|
syl13anc |
โข ( ๐ โ ( โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = โ
) |
233 |
219 232
|
eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ๐ฟ โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = โ
) |
234 |
|
uneqdifeq |
โข ( ( ๐ฟ โ ๐ด โง ( ๐ฟ โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = โ
) โ ( ( ๐ฟ โช โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = ๐ด โ ( ๐ด โ ๐ฟ ) = โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
235 |
207 233 234
|
sylancr |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ฟ โช โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) = ๐ด โ ( ๐ด โ ๐ฟ ) = โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
236 |
218 235
|
mpbid |
โข ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ฟ ) = โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
237 |
236
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐ด โ ๐ฟ ) = โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
238 |
237
|
ineq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ( ๐ด โ ๐ฟ ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) ) |
239 |
|
incom |
โข ( ( ๐ด โ ๐ฟ ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ( ๐ด โ ๐ฟ ) ) |
240 |
104 101
|
eqtri |
โข โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
241 |
238 239 240
|
3eqtr4g |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ด โ ๐ฟ ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
242 |
217 241
|
eqtr3id |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) = โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
243 |
242
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) ) = ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
244 |
212 243
|
oveq12d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( vol* โ ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โฉ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) ) + ( vol* โ ( ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) ) ) = ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) + ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
245 |
204 244
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) = ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) + ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
246 |
202 142
|
resubcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โ ( ๐ถ / ๐ ) ) โ โ ) |
247 |
|
inss2 |
โข ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) |
248 |
190
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ ) |
249 |
200
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
250 |
|
ovolsscl |
โข ( ( ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โง ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ โง ( vol* โ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ โ ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
251 |
247 248 249 250
|
mp3an2i |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
252 |
150 251
|
fsumrecl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
253 |
15
|
r19.21bi |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( abs โ ( ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) ) ) < ( ๐ถ / ๐ ) ) |
254 |
252 202 142
|
absdifltd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( abs โ ( ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) ) ) < ( ๐ถ / ๐ ) โ ( ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โ ( ๐ถ / ๐ ) ) < ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โง ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) < ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) + ( ๐ถ / ๐ ) ) ) ) ) |
255 |
253 254
|
mpbid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โ ( ๐ถ / ๐ ) ) < ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โง ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) < ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) + ( ๐ถ / ๐ ) ) ) ) |
256 |
255
|
simpld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โ ( ๐ถ / ๐ ) ) < ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
257 |
246 252 256
|
ltled |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โ ( ๐ถ / ๐ ) ) โค ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
258 |
149
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) = ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
259 |
|
mblvol |
โข ( ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol โ ( vol โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
260 |
174 259
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
261 |
260 251
|
eqeltrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
262 |
174 261
|
jca |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol โง ( vol โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) ) |
263 |
262
|
ralrimiva |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol โง ( vol โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) ) |
264 |
|
inss1 |
โข ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) |
265 |
264
|
rgenw |
โข โ ๐ โ โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) |
266 |
222
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ Disj ๐ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) ) |
267 |
|
disjss2 |
โข ( โ ๐ โ โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โ ( Disj ๐ โ โ ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โ Disj ๐ โ โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
268 |
265 266 267
|
mpsyl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ Disj ๐ โ โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
269 |
|
disjss1 |
โข ( ( 1 ... ๐ ) โ โ โ ( Disj ๐ โ โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ Disj ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
270 |
223 268 269
|
mpsyl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ Disj ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
271 |
|
volfiniun |
โข ( ( ( 1 ... ๐ ) โ Fin โง โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol โง ( vol โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) โง Disj ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ( vol โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
272 |
150 263 270 271
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
273 |
|
mblvol |
โข ( โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ dom vol โ ( vol โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
274 |
177 273
|
syl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
275 |
260
|
sumeq2dv |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
276 |
272 274 275
|
3eqtr3d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
277 |
258 276
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
278 |
257 277
|
breqtrrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โ ( ๐ถ / ๐ ) ) โค ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) ) |
279 |
277 252
|
eqeltrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) โ โ ) |
280 |
202 142 279
|
lesubaddd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โ ( ๐ถ / ๐ ) ) โค ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โค ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) + ( ๐ถ / ๐ ) ) ) ) |
281 |
278 280
|
mpbid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ด ) ) โค ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) + ( ๐ถ / ๐ ) ) ) |
282 |
245 281
|
eqbrtrrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) + ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) โค ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) + ( ๐ถ / ๐ ) ) ) |
283 |
134 142 279
|
leadd2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โค ( ๐ถ / ๐ ) โ ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) + ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) โค ( ( vol* โ ( ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) โฉ ๐ฟ ) ) + ( ๐ถ / ๐ ) ) ) ) |
284 |
282 283
|
mpbird |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โค ( ๐ถ / ๐ ) ) |
285 |
127 134 142 284
|
fsumle |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โค ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ถ / ๐ ) ) |
286 |
141
|
recnd |
โข ( ๐ โ ( ๐ถ / ๐ ) โ โ ) |
287 |
|
fsumconst |
โข ( ( ( 1 ... ๐ ) โ Fin โง ( ๐ถ / ๐ ) โ โ ) โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ถ / ๐ ) = ( ( โฏ โ ( 1 ... ๐ ) ) ยท ( ๐ถ / ๐ ) ) ) |
288 |
127 286 287
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ถ / ๐ ) = ( ( โฏ โ ( 1 ... ๐ ) ) ยท ( ๐ถ / ๐ ) ) ) |
289 |
|
nnnn0 |
โข ( ๐ โ โ โ ๐ โ โ0 ) |
290 |
|
hashfz1 |
โข ( ๐ โ โ0 โ ( โฏ โ ( 1 ... ๐ ) ) = ๐ ) |
291 |
11 289 290
|
3syl |
โข ( ๐ โ ( โฏ โ ( 1 ... ๐ ) ) = ๐ ) |
292 |
291
|
oveq1d |
โข ( ๐ โ ( ( โฏ โ ( 1 ... ๐ ) ) ยท ( ๐ถ / ๐ ) ) = ( ๐ ยท ( ๐ถ / ๐ ) ) ) |
293 |
119
|
recnd |
โข ( ๐ โ ๐ถ โ โ ) |
294 |
11
|
nncnd |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
295 |
11
|
nnne0d |
โข ( ๐ โ ๐ โ 0 ) |
296 |
293 294 295
|
divcan2d |
โข ( ๐ โ ( ๐ ยท ( ๐ถ / ๐ ) ) = ๐ถ ) |
297 |
288 292 296
|
3eqtrd |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ถ / ๐ ) = ๐ถ ) |
298 |
285 297
|
breqtrd |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( vol* โ โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โค ๐ถ ) |
299 |
117 135 119 140 298
|
letrd |
โข ( ๐ โ ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โค ๐ถ ) |
300 |
117 119 39 299
|
leadd2dd |
โข ( ๐ โ ( ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) ) + ( vol* โ โช ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โช ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ( ( (,) โ ( ๐น โ ๐ ) ) โฉ ( (,) โ ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) โค ( ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) ) + ๐ถ ) ) |
301 |
36 118 120 126 300
|
letrd |
โข ( ๐ โ ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ด ) ) โค ( ( vol* โ ( ๐พ โฉ ๐ฟ ) ) + ๐ถ ) ) |