Metamath Proof Explorer

Theorem usgrexmpl2nb1

Description: The neighborhood of the second vertex of graph G . (Contributed by AV, 9-Aug-2025)

Ref Expression
Hypotheses usgrexmpl2.v ⊢ 𝑉 = ( 0 ... 5 )
usgrexmpl2.e ⊢ 𝐸 = ⟨“ { 0 , 1 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 3 , 4 } { 4 , 5 } { 0 , 3 } { 0 , 5 } ”⟩
usgrexmpl2.g ⊢ 𝐺 = ⟨ 𝑉 , 𝐸 ⟩
Assertion usgrexmpl2nb1 ( 𝐺 NeighbVtx 1 ) = { 0 , 2 }

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 usgrexmpl2.v ⊢ 𝑉 = ( 0 ... 5 )
2 usgrexmpl2.e ⊢ 𝐸 = ⟨“ { 0 , 1 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 3 , 4 } { 4 , 5 } { 0 , 3 } { 0 , 5 } ”⟩
3 usgrexmpl2.g ⊢ 𝐺 = ⟨ 𝑉 , 𝐸 ⟩
4 1eltp012 ⊢ 1 ∈ { 0 , 1 , 2 }
5 4 orci ⊢ ( 1 ∈ { 0 , 1 , 2 } ∨ 1 ∈ { 3 , 4 , 5 } )
6 elun ⊢ ( 1 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ↔ ( 1 ∈ { 0 , 1 , 2 } ∨ 1 ∈ { 3 , 4 , 5 } ) )
7 5 6 mpbir ⊢ 1 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } )
8 1 2 3 usgrexmpl2nblem ⊢ ( 1 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) → ( 𝐺 NeighbVtx 1 ) = { 𝑛 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ∣ { 1 , 𝑛 } ∈ ( { { 0 , 3 } } ∪ ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } ∪ { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) } )
9 7 8 ax-mp ⊢ ( 𝐺 NeighbVtx 1 ) = { 𝑛 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ∣ { 1 , 𝑛 } ∈ ( { { 0 , 3 } } ∪ ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } ∪ { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) }
10 c0ex ⊢ 0 ∈ V
11 10 tpid1 ⊢ 0 ∈ { 0 , 1 , 2 }
12 11 orci ⊢ ( 0 ∈ { 0 , 1 , 2 } ∨ 0 ∈ { 3 , 4 , 5 } )
13 elun ⊢ ( 0 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ↔ ( 0 ∈ { 0 , 1 , 2 } ∨ 0 ∈ { 3 , 4 , 5 } ) )
14 12 13 mpbir ⊢ 0 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } )
15 2ex ⊢ 2 ∈ V
16 15 tpid3 ⊢ 2 ∈ { 0 , 1 , 2 }
17 16 orci ⊢ ( 2 ∈ { 0 , 1 , 2 } ∨ 2 ∈ { 3 , 4 , 5 } )
18 elun ⊢ ( 2 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ↔ ( 2 ∈ { 0 , 1 , 2 } ∨ 2 ∈ { 3 , 4 , 5 } ) )
19 17 18 mpbir ⊢ 2 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } )
20 prssi ⊢ ( ( 0 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ∧ 2 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ) → { 0 , 2 } ⊆ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) )
21 1re ⊢ 1 ∈ ℝ
22 vex ⊢ 𝑛 ∈ V
23 21 22 pm3.2i ⊢ ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V )
24 3ex ⊢ 3 ∈ V
25 15 24 pm3.2i ⊢ ( 2 ∈ V ∧ 3 ∈ V )
26 23 25 pm3.2i ⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V ) ∧ ( 2 ∈ V ∧ 3 ∈ V ) )
27 1ne2 ⊢ 1 ≠ 2
28 1lt3 ⊢ 1 < 3
29 21 28 ltneii ⊢ 1 ≠ 3
30 27 29 pm3.2i ⊢ ( 1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3 )
31 30 orci ⊢ ( ( 1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3 ) ∨ ( 𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3 ) )
32 prneimg ⊢ ( ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V ) ∧ ( 2 ∈ V ∧ 3 ∈ V ) ) → ( ( ( 1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3 ) ∨ ( 𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3 ) ) → { 1 , 𝑛 } ≠ { 2 , 3 } ) )
33 26 31 32 mp2 ⊢ { 1 , 𝑛 } ≠ { 2 , 3 }
34 33 neii ⊢ ¬ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 }
35 34 biorfri ⊢ ( ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ) ↔ ( ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ) ∨ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 } ) )
36 22 a1i ⊢ ( 0 ∈ V → 𝑛 ∈ V )
37 elex ⊢ ( 0 ∈ V → 0 ∈ V )
38 36 37 preq2b ⊢ ( 0 ∈ V → ( { 1 , 𝑛 } = { 1 , 0 } ↔ 𝑛 = 0 ) )
39 10 38 ax-mp ⊢ ( { 1 , 𝑛 } = { 1 , 0 } ↔ 𝑛 = 0 )
40 prcom ⊢ { 1 , 0 } = { 0 , 1 }
41 40 eqeq2i ⊢ ( { 1 , 𝑛 } = { 1 , 0 } ↔ { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } )
42 39 41 bitr3i ⊢ ( 𝑛 = 0 ↔ { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } )
43 22 a1i ⊢ ( 2 ∈ V → 𝑛 ∈ V )
44 elex ⊢ ( 2 ∈ V → 2 ∈ V )
45 43 44 preq2b ⊢ ( 2 ∈ V → ( { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ↔ 𝑛 = 2 ) )
46 45 bicomd ⊢ ( 2 ∈ V → ( 𝑛 = 2 ↔ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ) )
47 15 46 ax-mp ⊢ ( 𝑛 = 2 ↔ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } )
48 42 47 orbi12i ⊢ ( ( 𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2 ) ↔ ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ) )
49 df-3or ⊢ ( ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 } ) ↔ ( ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ) ∨ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 } ) )
50 35 48 49 3bitr4i ⊢ ( ( 𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2 ) ↔ ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 } ) )
51 4nn0 ⊢ 4 ∈ ℕ0
52 24 51 pm3.2i ⊢ ( 3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0 )
53 23 52 pm3.2i ⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V ) ∧ ( 3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0 ) )
54 1lt4 ⊢ 1 < 4
55 21 54 ltneii ⊢ 1 ≠ 4
56 29 55 pm3.2i ⊢ ( 1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4 )
57 56 orci ⊢ ( ( 1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4 ) ∨ ( 𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4 ) )
58 prneimg ⊢ ( ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V ) ∧ ( 3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4 ) ∨ ( 𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4 ) ) → { 1 , 𝑛 } ≠ { 3 , 4 } ) )
59 53 57 58 mp2 ⊢ { 1 , 𝑛 } ≠ { 3 , 4 }
60 59 neii ⊢ ¬ { 1 , 𝑛 } = { 3 , 4 }
61 5nn0 ⊢ 5 ∈ ℕ0
62 51 61 pm3.2i ⊢ ( 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 )
63 23 62 pm3.2i ⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V ) ∧ ( 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ) )
64 1lt5 ⊢ 1 < 5
65 21 64 ltneii ⊢ 1 ≠ 5
66 55 65 pm3.2i ⊢ ( 1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5 )
67 66 orci ⊢ ( ( 1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5 ) ∨ ( 𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5 ) )
68 prneimg ⊢ ( ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V ) ∧ ( 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5 ) ∨ ( 𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5 ) ) → { 1 , 𝑛 } ≠ { 4 , 5 } ) )
69 63 67 68 mp2 ⊢ { 1 , 𝑛 } ≠ { 4 , 5 }
70 69 neii ⊢ ¬ { 1 , 𝑛 } = { 4 , 5 }
71 10 61 pm3.2i ⊢ ( 0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0 )
72 23 71 pm3.2i ⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0 ) )
73 ax-1ne0 ⊢ 1 ≠ 0
74 73 65 pm3.2i ⊢ ( 1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5 )
75 74 orci ⊢ ( ( 1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5 ) ∨ ( 𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5 ) )
76 prneimg ⊢ ( ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5 ) ∨ ( 𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5 ) ) → { 1 , 𝑛 } ≠ { 0 , 5 } ) )
77 72 75 76 mp2 ⊢ { 1 , 𝑛 } ≠ { 0 , 5 }
78 77 neii ⊢ ¬ { 1 , 𝑛 } = { 0 , 5 }
79 60 70 78 3pm3.2ni ⊢ ¬ ( { 1 , 𝑛 } = { 3 , 4 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 4 , 5 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 0 , 5 } )
80 79 biorfri ⊢ ( ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 } ) ↔ ( ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 } ) ∨ ( { 1 , 𝑛 } = { 3 , 4 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 4 , 5 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 0 , 5 } ) ) )
81 10 24 pm3.2i ⊢ ( 0 ∈ V ∧ 3 ∈ V )
82 23 81 pm3.2i ⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 3 ∈ V ) )
83 73 29 pm3.2i ⊢ ( 1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3 )
84 83 orci ⊢ ( ( 1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3 ) ∨ ( 𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3 ) )
85 prneimg ⊢ ( ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 3 ∈ V ) ) → ( ( ( 1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3 ) ∨ ( 𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3 ) ) → { 1 , 𝑛 } ≠ { 0 , 3 } ) )
86 82 84 85 mp2 ⊢ { 1 , 𝑛 } ≠ { 0 , 3 }
87 86 neii ⊢ ¬ { 1 , 𝑛 } = { 0 , 3 }
88 87 biorfi ⊢ ( ( ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 } ) ∨ ( { 1 , 𝑛 } = { 3 , 4 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 4 , 5 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 0 , 5 } ) ) ↔ ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 3 } ∨ ( ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 } ) ∨ ( { 1 , 𝑛 } = { 3 , 4 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 4 , 5 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 0 , 5 } ) ) ) )
89 50 80 88 3bitri ⊢ ( ( 𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2 ) ↔ ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 3 } ∨ ( ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 } ) ∨ ( { 1 , 𝑛 } = { 3 , 4 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 4 , 5 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 0 , 5 } ) ) ) )
90 22 elpr ⊢ ( 𝑛 ∈ { 0 , 2 } ↔ ( 𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2 ) )
91 prex ⊢ { 1 , 𝑛 } ∈ V
92 el7g ⊢ ( { 1 , 𝑛 } ∈ V → ( { 1 , 𝑛 } ∈ ( { { 0 , 3 } } ∪ ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } ∪ { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) ↔ ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 3 } ∨ ( ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 } ) ∨ ( { 1 , 𝑛 } = { 3 , 4 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 4 , 5 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 0 , 5 } ) ) ) ) )
93 91 92 ax-mp ⊢ ( { 1 , 𝑛 } ∈ ( { { 0 , 3 } } ∪ ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } ∪ { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) ↔ ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 3 } ∨ ( ( { 1 , 𝑛 } = { 0 , 1 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 1 , 2 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 2 , 3 } ) ∨ ( { 1 , 𝑛 } = { 3 , 4 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 4 , 5 } ∨ { 1 , 𝑛 } = { 0 , 5 } ) ) ) )
94 89 90 93 3bitr4i ⊢ ( 𝑛 ∈ { 0 , 2 } ↔ { 1 , 𝑛 } ∈ ( { { 0 , 3 } } ∪ ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } ∪ { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) )
95 94 a1i ⊢ ( ( ( 0 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ∧ 2 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ) → ( 𝑛 ∈ { 0 , 2 } ↔ { 1 , 𝑛 } ∈ ( { { 0 , 3 } } ∪ ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } ∪ { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) ) )
96 20 95 eqrrabd ⊢ ( ( 0 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ∧ 2 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ) → { 0 , 2 } = { 𝑛 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ∣ { 1 , 𝑛 } ∈ ( { { 0 , 3 } } ∪ ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } ∪ { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) } )
97 96 eqcomd ⊢ ( ( 0 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ∧ 2 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ) → { 𝑛 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ∣ { 1 , 𝑛 } ∈ ( { { 0 , 3 } } ∪ ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } ∪ { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) } = { 0 , 2 } )
98 14 19 97 mp2an ⊢ { 𝑛 ∈ ( { 0 , 1 , 2 } ∪ { 3 , 4 , 5 } ) ∣ { 1 , 𝑛 } ∈ ( { { 0 , 3 } } ∪ ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } ∪ { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) } = { 0 , 2 }
99 9 98 eqtri ⊢ ( 𝐺 NeighbVtx 1 ) = { 0 , 2 }