Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ) |
2 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) ↔ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) |
3 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
4 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
6 |
|
zsubcl |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝐿 − 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
7 |
6
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝐿 − 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
8 |
5 7
|
zsubcld |
⊢ ( ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) |
9 |
3 5 8
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ) |
10 |
9
|
ex |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ) ) |
11 |
10
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ) ) |
12 |
11
|
com12 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ) ) |
13 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) → ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ) ) |
14 |
13
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ) |
15 |
|
zre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
18 |
|
zre |
⊢ ( 𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐿 ∈ ℝ ) |
20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ) → 𝐿 ∈ ℝ ) |
21 |
17 20
|
subge0d |
⊢ ( ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝑁 − 𝐿 ) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) |
22 |
21
|
exbiri |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) → ( 𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ ( 𝑁 − 𝐿 ) ) ) ) |
23 |
22
|
com23 |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐿 ≤ 𝑁 → ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) → 0 ≤ ( 𝑁 − 𝐿 ) ) ) ) |
24 |
23
|
3impia |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) → 0 ≤ ( 𝑁 − 𝐿 ) ) ) |
25 |
24
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → 0 ≤ ( 𝑁 − 𝐿 ) ) |
26 |
|
zre |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) → 𝑀 ∈ ℝ ) |
28 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℝ ) |
29 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 − 𝐿 ) ∈ ℝ ) |
30 |
15 18 29
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 − 𝐿 ) ∈ ℝ ) |
31 |
30
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝐿 ) ∈ ℝ ) |
32 |
31
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 − 𝐿 ) ∈ ℝ ) |
33 |
28 32
|
addge02d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝑁 − 𝐿 ) ↔ 𝑀 ≤ ( ( 𝑁 − 𝐿 ) + 𝑀 ) ) ) |
34 |
25 33
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → 𝑀 ≤ ( ( 𝑁 − 𝐿 ) + 𝑀 ) ) |
35 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
36 |
35
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
37 |
36
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
38 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ ) |
39 |
38
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → 𝐿 ∈ ℂ ) |
40 |
39
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → 𝐿 ∈ ℂ ) |
41 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
42 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
43 |
42
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
44 |
37 40 43
|
subsubd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) = ( ( 𝑁 − 𝐿 ) + 𝑀 ) ) |
45 |
34 44
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → 𝑀 ≤ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ) |
46 |
18
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → 𝐿 ∈ ℝ ) |
47 |
|
subge0 |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝐿 − 𝑀 ) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ) |
48 |
46 26 47
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐿 − 𝑀 ) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ) |
49 |
48
|
exbiri |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → ( 𝑀 ≤ 𝐿 → 0 ≤ ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ) ) |
50 |
49
|
com23 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 ≤ 𝐿 → ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → 0 ≤ ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ) ) |
51 |
50
|
imp31 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → 0 ≤ ( 𝐿 − 𝑀 ) ) |
52 |
15
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
53 |
52
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
54 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ) → ( 𝐿 − 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
55 |
46 27 54
|
syl2anr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝐿 − 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
56 |
53 55
|
subge02d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐿 − 𝑀 ) ↔ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ≤ 𝑁 ) ) |
57 |
51 56
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ≤ 𝑁 ) |
58 |
45 57
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ≤ 𝑁 ) ) |
59 |
|
elfz2 |
⊢ ( ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ≤ 𝑁 ) ) ) |
60 |
14 58 59
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
61 |
60
|
ex |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) → ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
62 |
61
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) → ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁 ) → ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
63 |
2 62
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿 ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) → ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
64 |
1 63
|
sylbi |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) → ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
65 |
64
|
imp |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) ) → ( 𝑁 − ( 𝐿 − 𝑀 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |