| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
eqid |
⊢ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
| 2 |
|
eqid |
⊢ ( Edg ‘ 𝐺 ) = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
| 3 |
1 2
|
iswwlks |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 4 |
|
lencl |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ) |
| 5 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ) |
| 6 |
|
1red |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 7 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
| 8 |
7
|
a1i |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
| 9 |
|
nn0re |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℝ ) |
| 10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℝ ) |
| 11 |
|
1le2 |
⊢ 1 ≤ 2 |
| 12 |
11
|
a1i |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → 1 ≤ 2 ) |
| 13 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
| 14 |
6 8 10 12 13
|
letrd |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → 1 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
| 15 |
5 14
|
jca |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 16 |
|
elnnnn0c |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ ↔ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 17 |
15 16
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ ) |
| 18 |
|
lbfzo0 |
⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↔ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ ) |
| 19 |
17 18
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → 0 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 20 |
|
nn0ge2m1nn |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ ) |
| 21 |
|
lbfzo0 |
⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ↔ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ ) |
| 22 |
20 21
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → 0 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 23 |
19 22
|
jca |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 0 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) ) |
| 24 |
4 23
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 0 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) ) |
| 25 |
|
inelcm |
⊢ ( ( 0 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) → ( ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∩ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) ≠ ∅ ) |
| 26 |
24 25
|
syl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∩ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) ≠ ∅ ) |
| 27 |
|
wrdfn |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → 𝑊 Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 28 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → 𝑊 Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 29 |
|
fnresdisj |
⊢ ( 𝑊 Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∩ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) = ∅ ↔ ( 𝑊 ↾ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) = ∅ ) ) |
| 30 |
28 29
|
syl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∩ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) = ∅ ↔ ( 𝑊 ↾ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) = ∅ ) ) |
| 31 |
|
nn0ge2m1nn0 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
| 32 |
10
|
lem1d |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
| 33 |
31 5 32
|
3jca |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 34 |
4 33
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 35 |
|
elfz2nn0 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↔ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 36 |
34 35
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 37 |
|
pfxres |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) = ( 𝑊 ↾ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) ) |
| 38 |
37
|
eqeq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) = ∅ ↔ ( 𝑊 ↾ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) = ∅ ) ) |
| 39 |
38
|
bicomd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑊 ↾ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) = ∅ ↔ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) = ∅ ) ) |
| 40 |
36 39
|
syldan |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑊 ↾ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) = ∅ ↔ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) = ∅ ) ) |
| 41 |
30 40
|
bitr2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) = ∅ ↔ ( ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∩ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) = ∅ ) ) |
| 42 |
41
|
necon3bid |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ≠ ∅ ↔ ( ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∩ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) ≠ ∅ ) ) |
| 43 |
26 42
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ≠ ∅ ) |
| 44 |
43
|
3ad2antl2 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ≠ ∅ ) |
| 45 |
|
pfxcl |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
| 46 |
45
|
a1d |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) → ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 47 |
46
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) → ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 48 |
47
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
| 49 |
|
nn0z |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℤ ) |
| 50 |
|
peano2zm |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℤ → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
| 51 |
49 50
|
syl |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
| 52 |
|
peano2zm |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℤ → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
| 53 |
51 52
|
syl |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
| 54 |
53
|
adantr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
| 55 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
| 56 |
|
peano2rem |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℝ → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
| 57 |
9 56
|
syl |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
| 58 |
57
|
lem1d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) |
| 59 |
58
|
adantr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) |
| 60 |
54 55 59
|
3jca |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 61 |
4 60
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 62 |
|
eluz2 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ↔ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 63 |
61 62
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) |
| 64 |
9
|
lem1d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
| 65 |
64
|
adantr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
| 66 |
31 5 65
|
3jca |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 67 |
4 66
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 68 |
67 35
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 69 |
|
pfxlen |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) |
| 70 |
69
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) |
| 71 |
68 70
|
syldan |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) |
| 72 |
71
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ℤ≥ ‘ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) |
| 73 |
63 72
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) |
| 74 |
|
fzoss2 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 75 |
73 74
|
syl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 76 |
|
ssralv |
⊢ ( ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 77 |
75 76
|
syl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 78 |
68 69
|
syldan |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) |
| 79 |
78
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) |
| 80 |
79
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) |
| 81 |
80
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) ) |
| 82 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
| 83 |
82
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) → 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
| 84 |
36
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
| 85 |
4 31
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
| 86 |
|
nn0z |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
| 87 |
|
fzossrbm1 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℤ → ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 88 |
86 87
|
syl |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ0 → ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 89 |
85 88
|
syl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 90 |
89
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 91 |
|
pfxfv |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) → ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) ) |
| 92 |
83 84 90 91
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) → ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) ) |
| 93 |
92
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) |
| 94 |
4 20
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ ) |
| 95 |
|
elfzom1p1elfzo |
⊢ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 96 |
94 95
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
| 97 |
|
pfxfv |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑥 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) → ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) = ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) ) |
| 98 |
83 84 96 97
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) → ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) = ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) ) |
| 99 |
98
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) = ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) ) |
| 100 |
93 99
|
preq12d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) ) → { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } = { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) |
| 101 |
100
|
ex |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) − 1 ) ) → { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } = { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) |
| 102 |
81 101
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) → { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } = { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ) |
| 103 |
102
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) → { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } = { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) |
| 104 |
103
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) → ( { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ↔ { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 105 |
104
|
biimpd |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) → ( { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 106 |
105
|
ralimdva |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 107 |
77 106
|
syld |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 108 |
107
|
expcom |
⊢ ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) → ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
| 109 |
108
|
com3l |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
| 110 |
109
|
a1i |
⊢ ( 𝑊 ≠ ∅ → ( 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) ) ) |
| 111 |
110
|
3imp1 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) |
| 112 |
1 2
|
iswwlks |
⊢ ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ↔ ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) { ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ 𝑥 ) , ( ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 113 |
44 48 111 112
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ) |
| 114 |
113
|
ex |
⊢ ( ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ( Edg ‘ 𝐺 ) ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) → ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 115 |
3 114
|
sylbi |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) → ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ) ) |
| 116 |
115
|
imp |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( 𝑊 prefix ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∈ ( WWalks ‘ 𝐺 ) ) |