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Theorem xaddmnf1

Description: Addition of negative infinity on the right. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion xaddmnf1 ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 -∞ ) = -∞ )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mnfxr -∞ ∈ ℝ*
2 xaddval ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 -∞ ) = if ( 𝐴 = +∞ , if ( -∞ = -∞ , 0 , +∞ ) , if ( 𝐴 = -∞ , if ( -∞ = +∞ , 0 , -∞ ) , if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) ) ) )
3 1 2 mpan2 ( 𝐴 ∈ ℝ* → ( 𝐴 +𝑒 -∞ ) = if ( 𝐴 = +∞ , if ( -∞ = -∞ , 0 , +∞ ) , if ( 𝐴 = -∞ , if ( -∞ = +∞ , 0 , -∞ ) , if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) ) ) )
4 ifnefalse ( 𝐴 ≠ +∞ → if ( 𝐴 = +∞ , if ( -∞ = -∞ , 0 , +∞ ) , if ( 𝐴 = -∞ , if ( -∞ = +∞ , 0 , -∞ ) , if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) ) ) = if ( 𝐴 = -∞ , if ( -∞ = +∞ , 0 , -∞ ) , if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) ) )
5 mnfnepnf -∞ ≠ +∞
6 ifnefalse ( -∞ ≠ +∞ → if ( -∞ = +∞ , 0 , -∞ ) = -∞ )
7 5 6 ax-mp if ( -∞ = +∞ , 0 , -∞ ) = -∞
8 ifnefalse ( -∞ ≠ +∞ → if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) = if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) )
9 5 8 ax-mp if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) = if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) )
10 eqid -∞ = -∞
11 10 iftruei if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) = -∞
12 9 11 eqtri if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) = -∞
13 ifeq12 ( ( if ( -∞ = +∞ , 0 , -∞ ) = -∞ ∧ if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) = -∞ ) → if ( 𝐴 = -∞ , if ( -∞ = +∞ , 0 , -∞ ) , if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) ) = if ( 𝐴 = -∞ , -∞ , -∞ ) )
14 7 12 13 mp2an if ( 𝐴 = -∞ , if ( -∞ = +∞ , 0 , -∞ ) , if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) ) = if ( 𝐴 = -∞ , -∞ , -∞ )
15 ifid if ( 𝐴 = -∞ , -∞ , -∞ ) = -∞
16 14 15 eqtri if ( 𝐴 = -∞ , if ( -∞ = +∞ , 0 , -∞ ) , if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) ) = -∞
17 4 16 eqtrdi ( 𝐴 ≠ +∞ → if ( 𝐴 = +∞ , if ( -∞ = -∞ , 0 , +∞ ) , if ( 𝐴 = -∞ , if ( -∞ = +∞ , 0 , -∞ ) , if ( -∞ = +∞ , +∞ , if ( -∞ = -∞ , -∞ , ( 𝐴 + -∞ ) ) ) ) ) = -∞ )
18 3 17 sylan9eq ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 -∞ ) = -∞ )