| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
xblss2.1 |
β’ ( π β π· β ( βMet β π ) ) |
| 2 |
|
xblss2.2 |
β’ ( π β π β π ) |
| 3 |
|
xblss2.3 |
β’ ( π β π β π ) |
| 4 |
|
xblss2.4 |
β’ ( π β π
β β* ) |
| 5 |
|
xblss2.5 |
β’ ( π β π β β* ) |
| 6 |
|
xblss2.6 |
β’ ( π β ( π π· π ) β β ) |
| 7 |
|
xblss2.7 |
β’ ( π β ( π π· π ) β€ ( π +π -π π
) ) |
| 8 |
|
elbl |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π β π β§ π
β β* ) β ( π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) β ( π₯ β π β§ ( π π· π₯ ) < π
) ) ) |
| 9 |
1 2 4 8
|
syl3anc |
β’ ( π β ( π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) β ( π₯ β π β§ ( π π· π₯ ) < π
) ) ) |
| 10 |
9
|
simprbda |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β π₯ β π ) |
| 11 |
1
|
adantr |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β π· β ( βMet β π ) ) |
| 12 |
3
|
adantr |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β π β π ) |
| 13 |
|
xmetcl |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π β π β§ π₯ β π ) β ( π π· π₯ ) β β* ) |
| 14 |
11 12 10 13
|
syl3anc |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π π· π₯ ) β β* ) |
| 15 |
14
|
adantr |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
β β ) β ( π π· π₯ ) β β* ) |
| 16 |
6
|
adantr |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π π· π ) β β ) |
| 17 |
16
|
rexrd |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π π· π ) β β* ) |
| 18 |
4
|
adantr |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β π
β β* ) |
| 19 |
17 18
|
xaddcld |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( ( π π· π ) +π π
) β β* ) |
| 20 |
19
|
adantr |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
β β ) β ( ( π π· π ) +π π
) β β* ) |
| 21 |
5
|
ad2antrr |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
β β ) β π β β* ) |
| 22 |
2
|
adantr |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β π β π ) |
| 23 |
|
xmetcl |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π β π β§ π₯ β π ) β ( π π· π₯ ) β β* ) |
| 24 |
11 22 10 23
|
syl3anc |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π π· π₯ ) β β* ) |
| 25 |
17 24
|
xaddcld |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( ( π π· π ) +π ( π π· π₯ ) ) β β* ) |
| 26 |
|
xmettri2 |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ ( π β π β§ π β π β§ π₯ β π ) ) β ( π π· π₯ ) β€ ( ( π π· π ) +π ( π π· π₯ ) ) ) |
| 27 |
11 22 12 10 26
|
syl13anc |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π π· π₯ ) β€ ( ( π π· π ) +π ( π π· π₯ ) ) ) |
| 28 |
9
|
simplbda |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π π· π₯ ) < π
) |
| 29 |
|
xltadd2 |
β’ ( ( ( π π· π₯ ) β β* β§ π
β β* β§ ( π π· π ) β β ) β ( ( π π· π₯ ) < π
β ( ( π π· π ) +π ( π π· π₯ ) ) < ( ( π π· π ) +π π
) ) ) |
| 30 |
24 18 16 29
|
syl3anc |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( ( π π· π₯ ) < π
β ( ( π π· π ) +π ( π π· π₯ ) ) < ( ( π π· π ) +π π
) ) ) |
| 31 |
28 30
|
mpbid |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( ( π π· π ) +π ( π π· π₯ ) ) < ( ( π π· π ) +π π
) ) |
| 32 |
14 25 19 27 31
|
xrlelttrd |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π π· π₯ ) < ( ( π π· π ) +π π
) ) |
| 33 |
32
|
adantr |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
β β ) β ( π π· π₯ ) < ( ( π π· π ) +π π
) ) |
| 34 |
5
|
adantr |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β π β β* ) |
| 35 |
18
|
xnegcld |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β -π π
β β* ) |
| 36 |
34 35
|
xaddcld |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π +π -π π
) β β* ) |
| 37 |
7
|
adantr |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π π· π ) β€ ( π +π -π π
) ) |
| 38 |
|
xleadd1a |
β’ ( ( ( ( π π· π ) β β* β§ ( π +π -π π
) β β* β§ π
β β* ) β§ ( π π· π ) β€ ( π +π -π π
) ) β ( ( π π· π ) +π π
) β€ ( ( π +π -π π
) +π π
) ) |
| 39 |
17 36 18 37 38
|
syl31anc |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( ( π π· π ) +π π
) β€ ( ( π +π -π π
) +π π
) ) |
| 40 |
39
|
adantr |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
β β ) β ( ( π π· π ) +π π
) β€ ( ( π +π -π π
) +π π
) ) |
| 41 |
|
xnpcan |
β’ ( ( π β β* β§ π
β β ) β ( ( π +π -π π
) +π π
) = π ) |
| 42 |
34 41
|
sylan |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
β β ) β ( ( π +π -π π
) +π π
) = π ) |
| 43 |
40 42
|
breqtrd |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
β β ) β ( ( π π· π ) +π π
) β€ π ) |
| 44 |
15 20 21 33 43
|
xrltletrd |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
β β ) β ( π π· π₯ ) < π ) |
| 45 |
28
|
adantr |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( π π· π₯ ) < π
) |
| 46 |
7
|
ad2antrr |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( π π· π ) β€ ( π +π -π π
) ) |
| 47 |
|
0xr |
β’ 0 β β* |
| 48 |
47
|
a1i |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β 0 β β* ) |
| 49 |
|
xmetge0 |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π β π β§ π β π ) β 0 β€ ( π π· π ) ) |
| 50 |
11 22 12 49
|
syl3anc |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β 0 β€ ( π π· π ) ) |
| 51 |
48 17 36 50 37
|
xrletrd |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β 0 β€ ( π +π -π π
) ) |
| 52 |
|
ge0nemnf |
β’ ( ( ( π +π -π π
) β β* β§ 0 β€ ( π +π -π π
) ) β ( π +π -π π
) β -β ) |
| 53 |
36 51 52
|
syl2anc |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π +π -π π
) β -β ) |
| 54 |
53
|
adantr |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( π +π -π π
) β -β ) |
| 55 |
5
|
ad2antrr |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β π β β* ) |
| 56 |
|
xaddmnf1 |
β’ ( ( π β β* β§ π β +β ) β ( π +π -β ) = -β ) |
| 57 |
56
|
ex |
β’ ( π β β* β ( π β +β β ( π +π -β ) = -β ) ) |
| 58 |
55 57
|
syl |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( π β +β β ( π +π -β ) = -β ) ) |
| 59 |
|
simpr |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β π
= +β ) |
| 60 |
|
xnegeq |
β’ ( π
= +β β -π π
= -π +β ) |
| 61 |
59 60
|
syl |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β -π π
= -π +β ) |
| 62 |
|
xnegpnf |
β’ -π +β = -β |
| 63 |
61 62
|
eqtrdi |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β -π π
= -β ) |
| 64 |
63
|
oveq2d |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( π +π -π π
) = ( π +π -β ) ) |
| 65 |
64
|
eqeq1d |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( ( π +π -π π
) = -β β ( π +π -β ) = -β ) ) |
| 66 |
58 65
|
sylibrd |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( π β +β β ( π +π -π π
) = -β ) ) |
| 67 |
66
|
necon1d |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( ( π +π -π π
) β -β β π = +β ) ) |
| 68 |
54 67
|
mpd |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β π = +β ) |
| 69 |
68 63
|
oveq12d |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( π +π -π π
) = ( +β +π -β ) ) |
| 70 |
|
pnfaddmnf |
β’ ( +β +π -β ) = 0 |
| 71 |
69 70
|
eqtrdi |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( π +π -π π
) = 0 ) |
| 72 |
46 71
|
breqtrd |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( π π· π ) β€ 0 ) |
| 73 |
50
|
biantrud |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( ( π π· π ) β€ 0 β ( ( π π· π ) β€ 0 β§ 0 β€ ( π π· π ) ) ) ) |
| 74 |
|
xrletri3 |
β’ ( ( ( π π· π ) β β* β§ 0 β β* ) β ( ( π π· π ) = 0 β ( ( π π· π ) β€ 0 β§ 0 β€ ( π π· π ) ) ) ) |
| 75 |
17 47 74
|
sylancl |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( ( π π· π ) = 0 β ( ( π π· π ) β€ 0 β§ 0 β€ ( π π· π ) ) ) ) |
| 76 |
|
xmeteq0 |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π β π β§ π β π ) β ( ( π π· π ) = 0 β π = π ) ) |
| 77 |
11 22 12 76
|
syl3anc |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( ( π π· π ) = 0 β π = π ) ) |
| 78 |
73 75 77
|
3bitr2d |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( ( π π· π ) β€ 0 β π = π ) ) |
| 79 |
78
|
adantr |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( ( π π· π ) β€ 0 β π = π ) ) |
| 80 |
72 79
|
mpbid |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β π = π ) |
| 81 |
80
|
oveq1d |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( π π· π₯ ) = ( π π· π₯ ) ) |
| 82 |
59 68
|
eqtr4d |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β π
= π ) |
| 83 |
45 81 82
|
3brtr3d |
β’ ( ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β§ π
= +β ) β ( π π· π₯ ) < π ) |
| 84 |
|
xmetge0 |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π β π β§ π₯ β π ) β 0 β€ ( π π· π₯ ) ) |
| 85 |
11 22 10 84
|
syl3anc |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β 0 β€ ( π π· π₯ ) ) |
| 86 |
48 24 18 85 28
|
xrlelttrd |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β 0 < π
) |
| 87 |
48 18 86
|
xrltled |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β 0 β€ π
) |
| 88 |
|
ge0nemnf |
β’ ( ( π
β β* β§ 0 β€ π
) β π
β -β ) |
| 89 |
18 87 88
|
syl2anc |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β π
β -β ) |
| 90 |
18 89
|
jca |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π
β β* β§ π
β -β ) ) |
| 91 |
|
xrnemnf |
β’ ( ( π
β β* β§ π
β -β ) β ( π
β β β¨ π
= +β ) ) |
| 92 |
90 91
|
sylib |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π
β β β¨ π
= +β ) ) |
| 93 |
44 83 92
|
mpjaodan |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π π· π₯ ) < π ) |
| 94 |
|
elbl |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π β π β§ π β β* ) β ( π₯ β ( π ( ball β π· ) π ) β ( π₯ β π β§ ( π π· π₯ ) < π ) ) ) |
| 95 |
11 12 34 94
|
syl3anc |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β ( π₯ β ( π ( ball β π· ) π ) β ( π₯ β π β§ ( π π· π₯ ) < π ) ) ) |
| 96 |
10 93 95
|
mpbir2and |
β’ ( ( π β§ π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) ) β π₯ β ( π ( ball β π· ) π ) ) |
| 97 |
96
|
ex |
β’ ( π β ( π₯ β ( π ( ball β π· ) π
) β π₯ β ( π ( ball β π· ) π ) ) ) |
| 98 |
97
|
ssrdv |
β’ ( π β ( π ( ball β π· ) π
) β ( π ( ball β π· ) π ) ) |