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Theorem xle2add

Description: Extended real version of le2add . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015)

		Ref	Expression
	Assertion	xle2add	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷 ) → ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → 𝐴 ∈ ℝ^* )
2		simprl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → 𝐶 ∈ ℝ^* )
3		simplr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → 𝐵 ∈ ℝ^* )
4		xleadd1a	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ) → ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) )
5	4	ex	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) → ( 𝐴 ≤ 𝐶 → ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ) )
6	1 2 3 5	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐶 → ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ) )
7		simprr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → 𝐷 ∈ ℝ^* )
8		xleadd2a	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐷 ) → ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) )
9	8	ex	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ) → ( 𝐵 ≤ 𝐷 → ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) ) )
10	3 7 2 9	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → ( 𝐵 ≤ 𝐷 → ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) ) )
11		xaddcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) → ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ^* )
12	11	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ^* )
13		xaddcl	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) → ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ^* )
14	2 3 13	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ^* )
15		xaddcl	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) → ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) ∈ ℝ^* )
16	15	adantl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) ∈ ℝ^* )
17		xrletr	⊢ ( ( ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) ∈ ℝ^* ) → ( ( ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) ) → ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) ) )
18	12 14 16 17	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → ( ( ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) ) → ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) ) )
19	6 10 18	syl2and	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ) ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷 ) → ( 𝐴 +_𝑒 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 +_𝑒 𝐷 ) ) )