Theorem xleadd2a

Description: Commuted form of xleadd1a . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015)

	Ref	Expression
Assertion	xleadd2a	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) ≤ ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xleadd1a	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) )
2		xaddcom	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) )
3	2	3adant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) )
4	3	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) )
5		xaddcom	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )
6	5	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )
7	6	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )
8	1 4 7	3brtr3d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) ≤ ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )