Theorem xltadd2

Description: Extended real version of ltadd2 . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015)

	Ref	Expression
Assertion	xltadd2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) < ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltadd1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) < ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) )
2		rexr	⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ* )
3		xaddcom	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) )
4	3	3adant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) )
5		xaddcom	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )
6	5	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )
7	4 6	breq12d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) < ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ↔ ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) < ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) ) )
8	2 7	syl3an3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) < ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ↔ ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) < ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) ) )
9	1 8	bitrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) < ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) ) )