Theorem xmettri

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of Gleason p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015)

	Ref	Expression
Assertion	xmettri	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ≤ ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 ( 𝐶 𝐷 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
2		simpr3	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑋 )
3		simpr1	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑋 )
4		simpr2	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑋 )
5		xmettri2	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ≤ ( ( 𝐶 𝐷 𝐴 ) +𝑒 ( 𝐶 𝐷 𝐵 ) ) )
6	1 2 3 4 5	syl13anc	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ≤ ( ( 𝐶 𝐷 𝐴 ) +𝑒 ( 𝐶 𝐷 𝐵 ) ) )
7		xmetsym	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 𝐷 𝐴 ) = ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) )
8	1 2 3 7	syl3anc	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐶 𝐷 𝐴 ) = ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) )
9	8	oveq1d	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐶 𝐷 𝐴 ) +𝑒 ( 𝐶 𝐷 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 ( 𝐶 𝐷 𝐵 ) ) )
10	6 9	breqtrd	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ≤ ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 ( 𝐶 𝐷 𝐵 ) ) )