Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xralrple4.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
2 |
|
xralrple4.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
3 |
|
xralrple4.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
1
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
5 |
2
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
6 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
7 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
8 |
|
rpre |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ ) |
9 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
10 |
3
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
11 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
12 |
9 11
|
reexpcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
14 |
7 13
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
15 |
14
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ* ) |
16 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ≤ 𝐵 ) |
17 |
|
rpge0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥 ) |
18 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ 𝑥 ) |
19 |
9 11 18
|
expge0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) |
20 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
21 |
20 12
|
addge01d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 0 ≤ ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ↔ 𝐵 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
22 |
19 21
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) |
23 |
22
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) |
24 |
4 6 15 16 23
|
xrletrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) |
25 |
24
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) |
26 |
25
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ≤ 𝐵 → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
27 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝑦 ∈ ℝ+ ) |
28 |
3
|
nnrpd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
29 |
28
|
rpreccld |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |
30 |
29
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 1 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
32 |
27 31
|
rpcxpcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ∈ ℝ+ ) |
33 |
32
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ∈ ℝ+ ) |
34 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) |
35 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) → ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) = ( ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ) |
36 |
35
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) → ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) = ( 𝐵 + ( ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
37 |
36
|
breq2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ↔ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
38 |
37
|
rspcva |
⊢ ( ( ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
39 |
33 34 38
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
40 |
27
|
rpcnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
41 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
42 |
|
cxproot |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) = 𝑦 ) |
43 |
40 41 42
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) = 𝑦 ) |
44 |
43
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 + ( ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ) = ( 𝐵 + 𝑦 ) ) |
45 |
44
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐵 + ( ( 𝑦 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ) = ( 𝐵 + 𝑦 ) ) |
46 |
39 45
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ≤ ( 𝐵 + 𝑦 ) ) |
47 |
46
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + 𝑦 ) ) |
48 |
|
xralrple |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + 𝑦 ) ) ) |
49 |
1 2 48
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + 𝑦 ) ) ) |
50 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + 𝑦 ) ) ) |
51 |
47 50
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ≤ 𝐵 ) |
52 |
51
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) → 𝐴 ≤ 𝐵 ) ) |
53 |
26 52
|
impbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ( 𝐵 + ( 𝑥 ↑ 𝑁 ) ) ) ) |