Theorem xrre

Description: A way of proving that an extended real is real. (Contributed by NM, 9-Mar-2006)

	Ref	Expression
Assertion	xrre	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ) → -∞ < 𝐴 )
2		ltpnf	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞ )
3	2	adantl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐵 < +∞ )
4		rexr	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ* )
5		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
6		xrlelttr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) → 𝐴 < +∞ ) )
7	5 6	mp3an3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) → 𝐴 < +∞ ) )
8	4 7	sylan2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < +∞ ) → 𝐴 < +∞ ) )
9	3 8	mpan2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 < +∞ ) )
10	9	imp	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → 𝐴 < +∞ )
11	10	adantrl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ) → 𝐴 < +∞ )
12		xrrebnd	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* → ( 𝐴 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞ ) ) )
13	12	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ↔ ( -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞ ) ) )
14	1 11 13	mpbir2and	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )