Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
reelznn0nn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ ↔ ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ) ) |
2 |
|
reelznn0nn |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℤ ↔ ( 𝐵 ∈ ℕ0 ∨ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) ) |
3 |
|
nn0addcom |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐴 ) ) |
4 |
|
zaddcomlem |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐴 ) ) |
5 |
|
zaddcomlem |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 + 𝐴 ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) ) |
6 |
5
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐴 ) ) |
7 |
6
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐴 ) ) |
8 |
|
renegid2 |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + 𝐵 ) = 0 ) |
9 |
8
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + 𝐵 ) = 0 ) |
10 |
|
renegid2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + 𝐴 ) = 0 ) |
11 |
10
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + 𝐴 ) = 0 ) |
12 |
11
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + 𝐴 ) + 𝐵 ) = ( 0 + 𝐵 ) ) |
13 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) |
14 |
13
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
15 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
17 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
18 |
17
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
19 |
14 16 18
|
addassd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + 𝐴 ) + 𝐵 ) = ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ) |
20 |
|
readdlid |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 0 + 𝐵 ) = 𝐵 ) |
21 |
20
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 + 𝐵 ) = 𝐵 ) |
22 |
12 19 21
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = 𝐵 ) |
23 |
22
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + 𝐵 ) ) |
24 |
9 23 11
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + 𝐴 ) ) |
25 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) |
26 |
25
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
27 |
16 18
|
addcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
28 |
26 14 27
|
addassd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ) ) |
29 |
9
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + 𝐵 ) + 𝐴 ) = ( 0 + 𝐴 ) ) |
30 |
26 18 16
|
addassd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + 𝐵 ) + 𝐴 ) = ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( 𝐵 + 𝐴 ) ) ) |
31 |
|
readdlid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 + 𝐴 ) = 𝐴 ) |
32 |
31
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 + 𝐴 ) = 𝐴 ) |
33 |
29 30 32
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( 𝐵 + 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
34 |
33
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( 𝐵 + 𝐴 ) ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + 𝐴 ) ) |
35 |
24 28 34
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( 𝐵 + 𝐴 ) ) ) ) |
36 |
|
nnaddcom |
⊢ ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) |
37 |
36
|
ad2ant2l |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) |
38 |
37
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ) |
39 |
18 16
|
addcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 𝐵 + 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
40 |
14 26 39
|
addassd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) + ( 𝐵 + 𝐴 ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) + ( 𝐵 + 𝐴 ) ) ) ) |
41 |
35 38 40
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) + ( 𝐵 + 𝐴 ) ) ) |
42 |
13 25
|
nnaddcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ∈ ℕ ) |
43 |
42
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
44 |
43 27 39
|
sn-addcand |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) + ( 𝐵 + 𝐴 ) ) ↔ ( 𝐴 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐴 ) ) ) |
45 |
41 44
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐴 ) ) |
46 |
3 4 7 45
|
ccase |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℕ0 ∨ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐴 ) ) |
47 |
1 2 46
|
syl2anb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐴 ) ) |