Theorem zfcndac

Description: Axiom of Choice ax-ac , reproved from conditionless ZFC axioms. (Contributed by NM, 15-Aug-2003) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	zfcndac	⊢ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacnd	⊢ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ∀ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
2		19.3v	⊢ ( ∀ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) )
3	2	imbi1i	⊢ ( ( ∀ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
4	3	2albii	⊢ ( ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ∀ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
5	4	exbii	⊢ ( ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ∀ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
6	1 5	mpbi	⊢ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
7		equequ2	⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( 𝑢 = 𝑣 ↔ 𝑢 = 𝑥 ) )
8	7	bibi2d	⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ) )
9		elequ2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑤 ∈ 𝑡 ↔ 𝑤 ∈ 𝑥 ) )
10	9	anbi2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ↔ ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ) )
11		elequ2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑢 ∈ 𝑡 ↔ 𝑢 ∈ 𝑥 ) )
12		elequ1	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑡 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦 ) )
13	11 12	anbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ↔ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) )
14	10 13	anbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ) )
15	14	cbvexvw	⊢ ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) )
16	15	bibi1i	⊢ ( ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) )
17	8 16	bitrdi	⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ) )
18	17	albidv	⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ) )
19		elequ1	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( 𝑢 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤 ) )
20	19	anbi1d	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ) )
21		elequ1	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( 𝑢 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥 ) )
22	21	anbi1d	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) )
23	20 22	anbi12d	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ) )
24	23	exbidv	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ) )
25		equequ1	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( 𝑢 = 𝑥 ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
26	24 25	bibi12d	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
27	26	cbvalvw	⊢ ( ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
28	18 27	bitrdi	⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
29	28	cbvexvw	⊢ ( ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
30	29	imbi2i	⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ) ↔ ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
31	30	2albii	⊢ ( ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
32	31	exbii	⊢ ( ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
33	6 32	mpbir	⊢ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) )