Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
reelznn0nn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ ↔ ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ) ) |
2 |
|
reelznn0nn |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℤ ↔ ( 𝐵 ∈ ℕ0 ∨ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) ) |
3 |
|
nn0mulcom |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |
4 |
|
zmulcomlem |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |
5 |
|
zmulcomlem |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 · 𝐴 ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) ) |
6 |
5
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |
7 |
6
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |
8 |
|
nnmulcom |
⊢ ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) · ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) · ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) |
9 |
8
|
ad2ant2l |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) · ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) · ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) |
10 |
9
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) · ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ) = ( 0 −ℝ ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) · ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) ) |
11 |
|
rernegcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
13 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) |
14 |
12 13
|
renegmulnnass |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) · ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) = ( 0 −ℝ ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) · ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ) ) |
15 |
|
rernegcl |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
17 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) |
18 |
16 17
|
renegmulnnass |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) · ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) = ( 0 −ℝ ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) · ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) ) |
19 |
10 14 18
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) · ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) = ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) · ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) |
20 |
19
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) · ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ) = ( 0 −ℝ ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) · ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) ) |
21 |
|
rernegcl |
⊢ ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
22 |
11 21
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
23 |
22
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
24 |
23 16
|
remulneg2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) · ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ) = ( 0 −ℝ ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) · ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ) ) |
25 |
|
rernegcl |
⊢ ( ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
26 |
15 25
|
syl |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
27 |
26
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
28 |
27 12
|
remulneg2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) · ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) = ( 0 −ℝ ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) · ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) ) |
29 |
20 24 28
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) · ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ) = ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) · ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) ) |
30 |
|
renegneg |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
31 |
30
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
32 |
|
renegneg |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) |
33 |
32
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) |
34 |
31 33
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) · ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) ) |
35 |
33 31
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ) · ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) = ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |
36 |
29 34 35
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |
37 |
3 4 7 36
|
ccase |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℕ ) ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℕ0 ∨ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 0 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℕ ) ) ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |
38 |
1 2 37
|
syl2anb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐴 ) ) |