Theorem zzlesq

Description: An integer is less than or equal to its square. (Contributed by BJ, 6-Feb-2025)

	Ref	Expression
Assertion	zzlesq	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ ( 𝑁 ↑ 2 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ ↔ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∨ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) )
2		animorrl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑁 ∈ ℕ ∨ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) )
3		olc	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 ∈ ℕ ∨ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) )
4	2 3	jaodan	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∨ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ ∨ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) )
5	1 4	sylbi	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 ∈ ℕ ∨ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) )
6		nnlesq	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ( 𝑁 ↑ 2 ) )
7		simpl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℝ )
8		0red	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ℝ )
9	7	resqcld	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 ↑ 2 ) ∈ ℝ )
10		nn0ge0	⊢ ( - 𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ - 𝑁 )
11		le0neg1	⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ - 𝑁 ) )
12	11	biimpar	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ - 𝑁 ) → 𝑁 ≤ 0 )
13	10 12	sylan2	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ≤ 0 )
14	7	sqge0d	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) → 0 ≤ ( 𝑁 ↑ 2 ) )
15	7 8 9 13 14	letrd	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ≤ ( 𝑁 ↑ 2 ) )
16	6 15	jaoi	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∨ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝑁 ↑ 2 ) )
17	5 16	syl	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ ( 𝑁 ↑ 2 ) )