Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
absf |
|- abs : CC --> RR |
2 |
|
abscn2 |
|- ( ( x e. CC /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. w e. CC ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( abs ` w ) - ( abs ` x ) ) ) < y ) ) |
3 |
2
|
rgen2 |
|- A. x e. CC A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. CC ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( abs ` w ) - ( abs ` x ) ) ) < y ) |
4 |
|
ssid |
|- CC C_ CC |
5 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
6 |
|
elcncf2 |
|- ( ( CC C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( abs e. ( CC -cn-> RR ) <-> ( abs : CC --> RR /\ A. x e. CC A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. CC ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( abs ` w ) - ( abs ` x ) ) ) < y ) ) ) ) |
7 |
4 5 6
|
mp2an |
|- ( abs e. ( CC -cn-> RR ) <-> ( abs : CC --> RR /\ A. x e. CC A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. CC ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( abs ` w ) - ( abs ` x ) ) ) < y ) ) ) |
8 |
1 3 7
|
mpbir2an |
|- abs e. ( CC -cn-> RR ) |