Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
adjval |
|- ( T e. dom adjh -> ( adjh ` T ) = ( iota_ u e. ( ~H ^m ~H ) A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( u ` x ) .ih y ) ) ) |
2 |
|
dmadjop |
|- ( T e. dom adjh -> T : ~H --> ~H ) |
3 |
|
elmapi |
|- ( u e. ( ~H ^m ~H ) -> u : ~H --> ~H ) |
4 |
|
adjsym |
|- ( ( T : ~H --> ~H /\ u : ~H --> ~H ) -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( u ` x ) .ih y ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( u ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) ) ) |
5 |
|
eqcom |
|- ( ( x .ih ( u ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) <-> ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( u ` y ) ) ) |
6 |
5
|
2ralbii |
|- ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( u ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih y ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( u ` y ) ) ) |
7 |
4 6
|
syl6bb |
|- ( ( T : ~H --> ~H /\ u : ~H --> ~H ) -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( u ` x ) .ih y ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( u ` y ) ) ) ) |
8 |
2 3 7
|
syl2an |
|- ( ( T e. dom adjh /\ u e. ( ~H ^m ~H ) ) -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( u ` x ) .ih y ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( u ` y ) ) ) ) |
9 |
8
|
riotabidva |
|- ( T e. dom adjh -> ( iota_ u e. ( ~H ^m ~H ) A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( T ` y ) ) = ( ( u ` x ) .ih y ) ) = ( iota_ u e. ( ~H ^m ~H ) A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( u ` y ) ) ) ) |
10 |
1 9
|
eqtrd |
|- ( T e. dom adjh -> ( adjh ` T ) = ( iota_ u e. ( ~H ^m ~H ) A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih y ) = ( x .ih ( u ` y ) ) ) ) |