Metamath Proof Explorer


Theorem cjmulval

Description: A complex number times its conjugate. (Contributed by NM, 1-Feb-2007) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014)

Ref Expression
Assertion cjmulval
|- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 recl
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2 1 recnd
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3 2 sqvald
 |-  ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) )
4 imcl
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5 4 recnd
 |-  ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6 5 sqvald
 |-  ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) = ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) )
7 3 6 oveq12d
 |-  ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) )
8 ipcnval
 |-  ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) )
9 8 anidms
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) )
10 cjmulrcl
 |-  ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. RR )
11 rere
 |-  ( ( A x. ( * ` A ) ) e. RR -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
12 10 11 syl
 |-  ( A e. CC -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
13 7 9 12 3eqtr2rd
 |-  ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )