Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
recl |
|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR ) |
2 |
1
|
recnd |
|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC ) |
3 |
2
|
sqvald |
|- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) ) |
4 |
|
imcl |
|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR ) |
5 |
4
|
recnd |
|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC ) |
6 |
5
|
sqvald |
|- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) = ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) |
7 |
3 6
|
oveq12d |
|- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) |
8 |
|
ipcnval |
|- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) |
9 |
8
|
anidms |
|- ( A e. CC -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) |
10 |
|
cjmulrcl |
|- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. RR ) |
11 |
|
rere |
|- ( ( A x. ( * ` A ) ) e. RR -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) ) |
12 |
10 11
|
syl |
|- ( A e. CC -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) ) |
13 |
7 9 12
|
3eqtr2rd |
|- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) |