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## Theorem isoeq1

Description: Equality theorem for isomorphisms. (Contributed by NM, 17-May-2004)

Ref Expression
Assertion isoeq1
`|- ( H = G -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> G Isom R , S ( A , B ) ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 f1oeq1
` |-  ( H = G -> ( H : A -1-1-onto-> B <-> G : A -1-1-onto-> B ) )`
2 fveq1
` |-  ( H = G -> ( H ` x ) = ( G ` x ) )`
3 fveq1
` |-  ( H = G -> ( H ` y ) = ( G ` y ) )`
4 2 3 breq12d
` |-  ( H = G -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( G ` x ) S ( G ` y ) ) )`
5 4 bibi2d
` |-  ( H = G -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( G ` x ) S ( G ` y ) ) ) )`
6 5 2ralbidv
` |-  ( H = G -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( G ` x ) S ( G ` y ) ) ) )`
7 1 6 anbi12d
` |-  ( H = G -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( G : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( G ` x ) S ( G ` y ) ) ) ) )`
8 df-isom
` |-  ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )`
9 df-isom
` |-  ( G Isom R , S ( A , B ) <-> ( G : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( G ` x ) S ( G ` y ) ) ) )`
10 7 8 9 3bitr4g
` |-  ( H = G -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> G Isom R , S ( A , B ) ) )`