Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulpqnq |
|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) = ( /Q ` ( A .pQ B ) ) ) |
2 |
|
elpqn |
|- ( A e. Q. -> A e. ( N. X. N. ) ) |
3 |
|
elpqn |
|- ( B e. Q. -> B e. ( N. X. N. ) ) |
4 |
|
mulpqf |
|- .pQ : ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) --> ( N. X. N. ) |
5 |
4
|
fovcl |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A .pQ B ) e. ( N. X. N. ) ) |
6 |
2 3 5
|
syl2an |
|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .pQ B ) e. ( N. X. N. ) ) |
7 |
|
nqercl |
|- ( ( A .pQ B ) e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` ( A .pQ B ) ) e. Q. ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( /Q ` ( A .pQ B ) ) e. Q. ) |
9 |
1 8
|
eqeltrd |
|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. Q. ) |