Metamath Proof Explorer

Theorem paddasslem7

Description: Lemma for paddass . Combine paddasslem5 and paddasslem6 . (Contributed by NM, 9-Jan-2012)

Ref Expression
Hypotheses paddasslem.l 
|- .<_ = ( le ` K )
paddasslem.j 
|- .\/ = ( join ` K )
paddasslem.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion paddasslem7 
|- ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> p .<_ ( s .\/ z ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 paddasslem.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 paddasslem.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 paddasslem.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 simpl1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> K e. HL )
5 simpl21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> p e. A )
6 simpl23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> s e. A )
7 5 6 jca 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> ( p e. A /\ s e. A ) )
8 simpl33 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> z e. A )
9 simpl22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> r e. A )
10 simpl3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) )
11 simprl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) )
12 1 2 3 paddasslem5 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) ) -> s =/= z )
13 4 9 10 11 12 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> s =/= z )
14 simprr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> s .<_ ( p .\/ z ) )
15 1 2 3 paddasslem6 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ s e. A ) /\ z e. A ) /\ ( s =/= z /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> p .<_ ( s .\/ z ) )
16 4 7 8 13 14 15 syl32anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ r e. A /\ s e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ ( ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) /\ s .<_ ( x .\/ y ) ) /\ s .<_ ( p .\/ z ) ) ) -> p .<_ ( s .\/ z ) )