Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
incom |
|- ( A i^i |^|_ x e. X S ) = ( |^|_ x e. X S i^i A ) |
2 |
|
r19.2z |
|- ( ( X =/= (/) /\ A. x e. X S C_ A ) -> E. x e. X S C_ A ) |
3 |
2
|
ancoms |
|- ( ( A. x e. X S C_ A /\ X =/= (/) ) -> E. x e. X S C_ A ) |
4 |
|
iinss |
|- ( E. x e. X S C_ A -> |^|_ x e. X S C_ A ) |
5 |
3 4
|
syl |
|- ( ( A. x e. X S C_ A /\ X =/= (/) ) -> |^|_ x e. X S C_ A ) |
6 |
|
df-ss |
|- ( |^|_ x e. X S C_ A <-> ( |^|_ x e. X S i^i A ) = |^|_ x e. X S ) |
7 |
5 6
|
sylib |
|- ( ( A. x e. X S C_ A /\ X =/= (/) ) -> ( |^|_ x e. X S i^i A ) = |^|_ x e. X S ) |
8 |
1 7
|
eqtrid |
|- ( ( A. x e. X S C_ A /\ X =/= (/) ) -> ( A i^i |^|_ x e. X S ) = |^|_ x e. X S ) |