Metamath Proof Explorer


Theorem cdleme50rn

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemef50.b B = Base K
cdlemef50.l ˙ = K
cdlemef50.j ˙ = join K
cdlemef50.m ˙ = meet K
cdlemef50.a A = Atoms K
cdlemef50.h H = LHyp K
cdlemef50.u U = P ˙ Q ˙ W
cdlemef50.d D = t ˙ U ˙ Q ˙ P ˙ t ˙ W
cdlemefs50.e E = P ˙ Q ˙ D ˙ s ˙ t ˙ W
cdlemef50.f F = x B if P Q ¬ x ˙ W ι z B | s A ¬ s ˙ W s ˙ x ˙ W = x z = if s ˙ P ˙ Q ι y B | t A ¬ t ˙ W ¬ t ˙ P ˙ Q y = E s / t D ˙ x ˙ W x
Assertion cdleme50rn K HL W H P A ¬ P ˙ W Q A ¬ Q ˙ W ran F = B

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemef50.b B = Base K
2 cdlemef50.l ˙ = K
3 cdlemef50.j ˙ = join K
4 cdlemef50.m ˙ = meet K
5 cdlemef50.a A = Atoms K
6 cdlemef50.h H = LHyp K
7 cdlemef50.u U = P ˙ Q ˙ W
8 cdlemef50.d D = t ˙ U ˙ Q ˙ P ˙ t ˙ W
9 cdlemefs50.e E = P ˙ Q ˙ D ˙ s ˙ t ˙ W
10 cdlemef50.f F = x B if P Q ¬ x ˙ W ι z B | s A ¬ s ˙ W s ˙ x ˙ W = x z = if s ˙ P ˙ Q ι y B | t A ¬ t ˙ W ¬ t ˙ P ˙ Q y = E s / t D ˙ x ˙ W x
11 eqid Q ˙ P ˙ W = Q ˙ P ˙ W
12 eqid v ˙ Q ˙ P ˙ W ˙ P ˙ Q ˙ v ˙ W = v ˙ Q ˙ P ˙ W ˙ P ˙ Q ˙ v ˙ W
13 eqid Q ˙ P ˙ v ˙ Q ˙ P ˙ W ˙ P ˙ Q ˙ v ˙ W ˙ u ˙ v ˙ W = Q ˙ P ˙ v ˙ Q ˙ P ˙ W ˙ P ˙ Q ˙ v ˙ W ˙ u ˙ v ˙ W
14 eqid a B if Q P ¬ a ˙ W ι c B | u A ¬ u ˙ W u ˙ a ˙ W = a c = if u ˙ Q ˙ P ι b B | v A ¬ v ˙ W ¬ v ˙ Q ˙ P b = Q ˙ P ˙ v ˙ Q ˙ P ˙ W ˙ P ˙ Q ˙ v ˙ W ˙ u ˙ v ˙ W u / v v ˙ Q ˙ P ˙ W ˙ P ˙ Q ˙ v ˙ W ˙ a ˙ W a = a B if Q P ¬ a ˙ W ι c B | u A ¬ u ˙ W u ˙ a ˙ W = a c = if u ˙ Q ˙ P ι b B | v A ¬ v ˙ W ¬ v ˙ Q ˙ P b = Q ˙ P ˙ v ˙ Q ˙ P ˙ W ˙ P ˙ Q ˙ v ˙ W ˙ u ˙ v ˙ W u / v v ˙ Q ˙ P ˙ W ˙ P ˙ Q ˙ v ˙ W ˙ a ˙ W a
15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cdleme50rnlem K HL W H P A ¬ P ˙ W Q A ¬ Q ˙ W ran F = B