Theorem dfin3

Description: Intersection defined in terms of union (De Morgan's law). Similar to Exercise 4.10(n) of Mendelson p. 231. (Contributed by NM, 8-Jan-2002)

	Ref	Expression
Assertion	dfin3	$$⊢A\cap B=\mathrm{V}\setminus \left(\left(\mathrm{V}\setminus A\right)\cup \left(\mathrm{V}\setminus B\right)\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ddif	$$⊢\mathrm{V}\setminus \left(\mathrm{V}\setminus \left(A\setminus \left(\mathrm{V}\setminus B\right)\right)\right)=A\setminus \left(\mathrm{V}\setminus B\right)$$
2		dfun2	$$⊢\left(\mathrm{V}\setminus A\right)\cup \left(\mathrm{V}\setminus B\right)=\mathrm{V}\setminus \left(\left(\mathrm{V}\setminus \left(\mathrm{V}\setminus A\right)\right)\setminus \left(\mathrm{V}\setminus B\right)\right)$$
3		ddif	$$⊢\mathrm{V}\setminus \left(\mathrm{V}\setminus A\right)=A$$
4	3	difeq1i	$$⊢\left(\mathrm{V}\setminus \left(\mathrm{V}\setminus A\right)\right)\setminus \left(\mathrm{V}\setminus B\right)=A\setminus \left(\mathrm{V}\setminus B\right)$$
5	4	difeq2i	$$⊢\mathrm{V}\setminus \left(\left(\mathrm{V}\setminus \left(\mathrm{V}\setminus A\right)\right)\setminus \left(\mathrm{V}\setminus B\right)\right)=\mathrm{V}\setminus \left(A\setminus \left(\mathrm{V}\setminus B\right)\right)$$
6	2 5	eqtri	$$⊢\left(\mathrm{V}\setminus A\right)\cup \left(\mathrm{V}\setminus B\right)=\mathrm{V}\setminus \left(A\setminus \left(\mathrm{V}\setminus B\right)\right)$$
7	6	difeq2i	$$⊢\mathrm{V}\setminus \left(\left(\mathrm{V}\setminus A\right)\cup \left(\mathrm{V}\setminus B\right)\right)=\mathrm{V}\setminus \left(\mathrm{V}\setminus \left(A\setminus \left(\mathrm{V}\setminus B\right)\right)\right)$$
8		dfin2	$$⊢A\cap B=A\setminus \left(\mathrm{V}\setminus B\right)$$
9	1 7 8	3eqtr4ri	$$⊢A\cap B=\mathrm{V}\setminus \left(\left(\mathrm{V}\setminus A\right)\cup \left(\mathrm{V}\setminus B\right)\right)$$