merco1lem1

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 . (Contributed by Anthony Hart, 17-Sep-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	merco1lem1	$⊢ φ \to (⊥ \to χ)$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco1	$⊢ ((((⊥ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to φ)) \to (((⊥ \to φ) \to ⊥) \to (φ \to ⊥))$
2		merco1	$⊢ (((((⊥ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to φ)) \to (((⊥ \to φ) \to ⊥) \to (φ \to ⊥))) \to (((((⊥ \to φ) \to ⊥) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to φ)) \to (φ \to (⊥ \to φ)))$
3	1 2	ax-mp	$⊢ ((((⊥ \to φ) \to ⊥) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to φ)) \to (φ \to (⊥ \to φ))$
4		merco1	$⊢ (((((⊥ \to φ) \to ⊥) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to φ)) \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to (((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to φ)) \to (φ \to (⊥ \to φ)))$
5	3 4	ax-mp	$⊢ ((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to φ)) \to (φ \to (⊥ \to φ))$
6		merco1	$⊢ ((((⊥ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to ((φ \to (⊥ \to φ)) \to ⊥)) \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to (((φ \to (⊥ \to φ)) \to ⊥) \to (φ \to ⊥))$
7		merco1	$⊢ (((((⊥ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to ((φ \to (⊥ \to φ)) \to ⊥)) \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to (((φ \to (⊥ \to φ)) \to ⊥) \to (φ \to ⊥))) \to (((((φ \to (⊥ \to φ)) \to ⊥) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to φ)) \to ((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to φ)))$
8	6 7	ax-mp	$⊢ ((((φ \to (⊥ \to φ)) \to ⊥) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to φ)) \to ((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to φ))$
9		merco1	$⊢ (((((φ \to (⊥ \to φ)) \to ⊥) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to φ)) \to ((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to φ))) \to ((((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to φ)) \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to (φ \to (φ \to (⊥ \to φ))))$
10	8 9	ax-mp	$⊢ (((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to φ)) \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to (φ \to (φ \to (⊥ \to φ)))$
11	5 10	ax-mp	$⊢ φ \to (φ \to (⊥ \to φ))$
12		merco1	$⊢ ((((⊥ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to χ)) \to (((⊥ \to χ) \to ⊥) \to (φ \to ⊥))$
13		merco1	$⊢ (((((⊥ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to χ)) \to (((⊥ \to χ) \to ⊥) \to (φ \to ⊥))) \to (((((⊥ \to χ) \to ⊥) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to φ)) \to (φ \to (⊥ \to φ)))$
14	12 13	ax-mp	$⊢ ((((⊥ \to χ) \to ⊥) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to φ)) \to (φ \to (⊥ \to φ))$
15		merco1	$⊢ (((((⊥ \to χ) \to ⊥) \to (φ \to ⊥)) \to (⊥ \to φ)) \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to (((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to χ)) \to (φ \to (⊥ \to χ)))$
16	14 15	ax-mp	$⊢ ((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to χ)) \to (φ \to (⊥ \to χ))$
17		merco1	$⊢ ((((⊥ \to χ) \to ((φ \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to ⊥)) \to ((φ \to (⊥ \to φ)) \to ⊥)) \to (φ \to (⊥ \to χ))) \to (((φ \to (⊥ \to χ)) \to ⊥) \to ((φ \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to ⊥))$
18		merco1	$⊢ (((((⊥ \to χ) \to ((φ \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to ⊥)) \to ((φ \to (⊥ \to φ)) \to ⊥)) \to (φ \to (⊥ \to χ))) \to (((φ \to (⊥ \to χ)) \to ⊥) \to ((φ \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to ⊥))) \to (((((φ \to (⊥ \to χ)) \to ⊥) \to ((φ \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to ⊥)) \to (⊥ \to χ)) \to ((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to χ)))$
19	17 18	ax-mp	$⊢ ((((φ \to (⊥ \to χ)) \to ⊥) \to ((φ \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to ⊥)) \to (⊥ \to χ)) \to ((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to χ))$
20		merco1	$⊢ (((((φ \to (⊥ \to χ)) \to ⊥) \to ((φ \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to ⊥)) \to (⊥ \to χ)) \to ((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to χ))) \to ((((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to χ)) \to (φ \to (⊥ \to χ))) \to ((φ \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to (φ \to (⊥ \to χ))))$
21	19 20	ax-mp	$⊢ (((φ \to (⊥ \to φ)) \to (⊥ \to χ)) \to (φ \to (⊥ \to χ))) \to ((φ \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to (φ \to (⊥ \to χ)))$
22	16 21	ax-mp	$⊢ (φ \to (φ \to (⊥ \to φ))) \to (φ \to (⊥ \to χ))$
23	11 22	ax-mp	$⊢ φ \to (⊥ \to χ)$

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Theorem merco1lem1

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