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Theorem merco1lem6

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 . (Contributed by Anthony Hart, 17-Sep-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	merco1lem6	$⊢ (φ \to (φ \to ψ)) \to (χ \to (φ \to ψ))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco1lem5	$⊢ ((((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥) \to ⊥) \to ⊥) \to ((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥)$
2		merco1lem3	$⊢ (((((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥) \to ⊥) \to ⊥) \to ((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥)) \to ((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to (((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥) \to ⊥))$
3	1 2	ax-mp	$⊢ (((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to (((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥) \to ⊥)$
4		merco1lem5	$⊢ ((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to (((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥) \to ⊥)) \to ((φ \to ψ) \to (((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥) \to ⊥))$
5	3 4	ax-mp	$⊢ (φ \to ψ) \to (((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥) \to ⊥)$
6		merco1lem3	$⊢ ((φ \to ψ) \to (((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥) \to ⊥)) \to (((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥) \to φ)$
7	5 6	ax-mp	$⊢ ((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥) \to φ$
8		merco1	$⊢ (((((φ \to ψ) \to ⊥) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥) \to φ) \to ((φ \to (φ \to ψ)) \to (χ \to (φ \to ψ)))$
9	7 8	ax-mp	$⊢ (φ \to (φ \to ψ)) \to (χ \to (φ \to ψ))$