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Theorem mercolem2

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 . (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	mercolem2	$⊢ ((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco2	$⊢ ((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))$
2		merco2	$⊢ ((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to (((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ)))$
3		merco2	$⊢ ((φ \to ψ) \to ((⊥ \to φ) \to ⊥)) \to ((⊥ \to φ) \to (χ \to (θ \to φ)))$
4		merco2	$⊢ (((φ \to ψ) \to ((⊥ \to φ) \to ⊥)) \to ((⊥ \to φ) \to (χ \to (θ \to φ)))) \to (((χ \to (θ \to φ)) \to (φ \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))))$
5	3 4	ax-mp	$⊢ ((χ \to (θ \to φ)) \to (φ \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)))$
6		merco2	$⊢ (((χ \to (θ \to φ)) \to (φ \to ψ)) \to ((⊥ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)))) \to ((((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)) \to (χ \to (θ \to φ))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ)))))$
7	5 6	ax-mp	$⊢ (((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)) \to (χ \to (θ \to φ))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ))))$
8		merco2	$⊢ ((((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)) \to (χ \to (θ \to φ))) \to ((⊥ \to φ) \to (((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ))))) \to (((((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ))) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to ((⊥ \to φ) \to ((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ)))))$
9	7 8	ax-mp	$⊢ ((((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ))) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to ((⊥ \to φ) \to ((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))))$
10		merco2	$⊢ (((((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ))) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to ((⊥ \to φ) \to ((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to (((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to (((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ))))))$
11	9 10	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to (φ \to ψ))) \to (((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to (((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ)))))$
12	2 11	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to (((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ))))$
13	1 12	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ((⊥ \to φ) \to φ)) \to ((φ \to φ) \to (φ \to (φ \to φ)))) \to (((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ)))$
14	1 13	ax-mp	$⊢ ((φ \to ψ) \to φ) \to (χ \to (θ \to φ))$