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Theorem merlem5

Description: Step 11 of Meredith's proof of Lukasiewicz axioms from his sole axiom. (Contributed by NM, 14-Dec-2002) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	merlem5	$⊢ (φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ)$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meredith	$⊢ ((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ))$
2		meredith	$⊢ ((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg \neg \neg φ)) \to ψ) \to φ) \to ((φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ))$
3		merlem1	$⊢ (((φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ)) \to \neg (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ)))) \to (\neg φ \to \neg (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ))))$
4		merlem4	$⊢ ((((φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ)) \to \neg (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ)))) \to (\neg φ \to \neg (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ))))) \to ((((((φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ)) \to \neg (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ)))) \to (\neg φ \to \neg (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ))))) \to φ) \to ((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg \neg \neg φ)) \to ψ) \to φ))$
5	3 4	ax-mp	$⊢ (((((φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ)) \to \neg (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ)))) \to (\neg φ \to \neg (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ))))) \to φ) \to ((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg \neg \neg φ)) \to ψ) \to φ)$
6		meredith	$⊢ ((((((φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ)) \to \neg (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ)))) \to (\neg φ \to \neg (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ))))) \to φ) \to ((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg \neg \neg φ)) \to ψ) \to φ)) \to ((((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg \neg \neg φ)) \to ψ) \to φ) \to ((φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ))) \to ((((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ))) \to ((φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ))))$
7	5 6	ax-mp	$⊢ (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg \neg \neg φ)) \to ψ) \to φ) \to ((φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ))) \to ((((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ))) \to ((φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ)))$
8	2 7	ax-mp	$⊢ (((((ψ \to ψ) \to (\neg ψ \to \neg ψ)) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to ψ) \to (ψ \to ψ))) \to ((φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ))$
9	1 8	ax-mp	$⊢ (φ \to ψ) \to (\neg \neg φ \to ψ)$