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Theorem merlem5

Description: Step 11 of Meredith's proof of Lukasiewicz axioms from his sole axiom. (Contributed by NM, 14-Dec-2002) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion merlem5 
|- ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 meredith 
 |-  ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) )
2 meredith 
 |-  ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) )
3 merlem1 
 |-  ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) -> ( -. ph -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) )
4 merlem4 
 |-  ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) -> ( -. ph -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) -> ( -. ph -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) ) )
5 3 4 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) -> ( -. ph -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) )
6 meredith 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) -> ( -. ph -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) ) ) )
7 5 6 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) ) )
8 2 7 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) )
9 1 8 ax-mp 
 |-  ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) )